Катя рассчитала, что если она прочитает 5 страниц в первый день и затем каждый следующий день будет читать

Для решения этой задачи мы можем использовать метод арифметической прогрессии.

Пусть число страниц, которые Катя будет читать на $n$-й день, равно $a_n$.

Из условия задачи мы знаем, что Катя прочитает 5 страниц в первый день ($a_1=5$) и каждый следующий день будет читать на 2 страницы больше. Таким образом, у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=5$ и разностью прогрессии $d=2$.

Чтобы узнать количество страниц, которые Катя прочитает во второй день ($a_2$), мы можем использовать формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

В данном случае, $n=2$, $a_1=5$ и $d=2$, поэтому:

$$a_2=5+(2-1)\cdot 2=5+2=7$$

Итак, во второй день Катя прочитает 7 страниц.

Аналогичным образом, мы можем найти число страниц, которые Катя прочитает на третий день ($a_3$):

$$a_3=5+(3-1)\cdot 2=5+4=9$$

Таким образом, на третий день Катя прочитает 9 страниц.

Мы замечаем, что количество страниц, которое Катя прочитает каждый день, образует арифметическую прогрессию:

5, 7, 9, ...

Заметим также, что разность прогрессии равна 2 (так как каждый следующий день она читает на 2 страницы больше).

Теперь задача сводится к определению количества дней, которое потребуется Кате, чтобы закончить чтение книги через две недели. В две недели (14 дней) она будет читать каждый день по одной странице больше:

5, 7, 9, 11, 13, ...

Мы видим, что в каждый следующий день Катя будет читать на 2 страницы больше по сравнению с предыдущим днем.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти сумму первых $n$ членов этой арифметической прогрессии и приравнять ее к общему количеству страниц в книге.

Для этого нам понадобится формула для суммы $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{n}{2}\cdot (a_1+a_n)$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов, $a_1$ - первый член, $a_n$ - $n$-й член арифметической прогрессии.

Мы знаем, что $a_1=5$ и разность прогрессии $d=2$. Также нам известно, что общее количество страниц в книге будет равно сумме первых $n$ членов.

Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для решения задачи. Для удобства записи в формуле вместо $n$ мы можем использовать $k$, так как общее количество дней равно количеству страниц:

$$S_k=\frac{k}{2}\cdot (a_1+a_k)$$

Теперь мы можем анализировать выражение и приступить к решению задачи.

У нас есть следующая информация:

$$S_k=\frac{k}{2}\cdot (5+a_k)$$

Обратим внимание, что $a_k$ равно количеству страниц, которое Катя прочитает $k$-й день. Нам известно, что она заканчивает чтение книги через две недели, то есть через 14 дней. Поэтому $k=14$. Теперь мы можем записать новое выражение:

$$S_{14}=\frac{14}{2}\cdot (5+a_{14})$$

Осталось узнать значение $a_{14}$. Мы знаем, что Катя начинает с 5 страниц и каждый день будет читать на 2 страницы больше. Это означает, что $a_k=5+(k-1)\cdot 2$.

Подставляем $k=14$ в это выражение:

$$a_{14}=5+(14-1)\cdot 2=5+13\cdot 2=5+26=31$$

Теперь мы можем продолжить расчеты:

$$S_{14}=\frac{14}{2}\cdot (5+31)$$
$$S_{14}=7\cdot 36$$
$$S_{14}=252$$

Таким образом, сумма первых 14 членов арифметической прогрессии равна 252.

Также мы знаем, что сумма первых $k$ членов должна равняться общему количеству страниц в книге. Поэтому:

$$252=k$$

Решаем уравнение:

$$k=252$$

Значит, в книге всего 252 страницы.

Проверим наше решение:

Катя начинает чтение с 5 страниц, во второй день прочитает 7 страниц, в третий день - 9 страниц и так далее, пока не закончит чтение книги через две недели. Подсчитаем количество страниц:

$$5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31=252$$

Получили то же самое число, что и ранее. Значит, наше решение верное. В книге всего 252 страницы.