Катя рассчитала, что если она прочитает 5 страниц в первый день и затем каждый следующий день будет читать на 2 страницы больше, она закончит чтение книги через две недели. Сколько страниц всего в книге?
Артём
Для решения этой задачи мы можем использовать метод арифметической прогрессии.
Пусть число страниц, которые Катя будет читать на -й день, равно .
Из условия задачи мы знаем, что Катя прочитает 5 страниц в первый день ( ) и каждый следующий день будет читать на 2 страницы больше. Таким образом, у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью прогрессии .
Чтобы узнать количество страниц, которые Катя прочитает во второй день ( ), мы можем использовать формулу для -го члена арифметической прогрессии:
В данном случае, , и , поэтому:
Итак, во второй день Катя прочитает 7 страниц.
Аналогичным образом, мы можем найти число страниц, которые Катя прочитает на третий день ( ):
Таким образом, на третий день Катя прочитает 9 страниц.
Мы замечаем, что количество страниц, которое Катя прочитает каждый день, образует арифметическую прогрессию:
5, 7, 9, ...
Заметим также, что разность прогрессии равна 2 (так как каждый следующий день она читает на 2 страницы больше).
Теперь задача сводится к определению количества дней, которое потребуется Кате, чтобы закончить чтение книги через две недели. В две недели (14 дней) она будет читать каждый день по одной странице больше:
5, 7, 9, 11, 13, ...
Мы видим, что в каждый следующий день Катя будет читать на 2 страницы больше по сравнению с предыдущим днем.
Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти сумму первых членов этой арифметической прогрессии и приравнять ее к общему количеству страниц в книге.
Для этого нам понадобится формула для суммы членов арифметической прогрессии:
где - сумма первых членов, - первый член, - -й член арифметической прогрессии.
Мы знаем, что и разность прогрессии . Также нам известно, что общее количество страниц в книге будет равно сумме первых членов.
Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для решения задачи. Для удобства записи в формуле вместо мы можем использовать , так как общее количество дней равно количеству страниц:
Теперь мы можем анализировать выражение и приступить к решению задачи.
У нас есть следующая информация:
Обратим внимание, что равно количеству страниц, которое Катя прочитает -й день. Нам известно, что она заканчивает чтение книги через две недели, то есть через 14 дней. Поэтому . Теперь мы можем записать новое выражение:
Осталось узнать значение . Мы знаем, что Катя начинает с 5 страниц и каждый день будет читать на 2 страницы больше. Это означает, что .
Подставляем в это выражение:
Теперь мы можем продолжить расчеты:
Таким образом, сумма первых 14 членов арифметической прогрессии равна 252.
Также мы знаем, что сумма первых членов должна равняться общему количеству страниц в книге. Поэтому:
Решаем уравнение:
Значит, в книге всего 252 страницы.
Проверим наше решение:
Катя начинает чтение с 5 страниц, во второй день прочитает 7 страниц, в третий день - 9 страниц и так далее, пока не закончит чтение книги через две недели. Подсчитаем количество страниц:
Получили то же самое число, что и ранее. Значит, наше решение верное. В книге всего 252 страницы.
Пусть число страниц, которые Катя будет читать на
Из условия задачи мы знаем, что Катя прочитает 5 страниц в первый день (
Чтобы узнать количество страниц, которые Катя прочитает во второй день (
В данном случае,
Итак, во второй день Катя прочитает 7 страниц.
Аналогичным образом, мы можем найти число страниц, которые Катя прочитает на третий день (
Таким образом, на третий день Катя прочитает 9 страниц.
Мы замечаем, что количество страниц, которое Катя прочитает каждый день, образует арифметическую прогрессию:
5, 7, 9, ...
Заметим также, что разность прогрессии равна 2 (так как каждый следующий день она читает на 2 страницы больше).
Теперь задача сводится к определению количества дней, которое потребуется Кате, чтобы закончить чтение книги через две недели. В две недели (14 дней) она будет читать каждый день по одной странице больше:
5, 7, 9, 11, 13, ...
Мы видим, что в каждый следующий день Катя будет читать на 2 страницы больше по сравнению с предыдущим днем.
Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти сумму первых
Для этого нам понадобится формула для суммы
где
Мы знаем, что
Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для решения задачи. Для удобства записи в формуле вместо
Теперь мы можем анализировать выражение и приступить к решению задачи.
У нас есть следующая информация:
Обратим внимание, что
Осталось узнать значение
Подставляем
Теперь мы можем продолжить расчеты:
Таким образом, сумма первых 14 членов арифметической прогрессии равна 252.
Также мы знаем, что сумма первых
Решаем уравнение:
Значит, в книге всего 252 страницы.
Проверим наше решение:
Катя начинает чтение с 5 страниц, во второй день прочитает 7 страниц, в третий день - 9 страниц и так далее, пока не закончит чтение книги через две недели. Подсчитаем количество страниц:
Получили то же самое число, что и ранее. Значит, наше решение верное. В книге всего 252 страницы.
Знаешь ответ?