Катя рассчитала, что если она прочитает 5 страниц в первый день и затем каждый следующий день будет читать

Для решения этой задачи мы можем использовать метод арифметической прогрессии.

Пусть число страниц, которые Катя будет читать на \(n\)-й день, равно \(a_n\).

Из условия задачи мы знаем, что Катя прочитает 5 страниц в первый день (\(a_1 = 5\)) и каждый следующий день будет читать на 2 страницы больше. Таким образом, у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 5\) и разностью прогрессии \(d = 2\).

Чтобы узнать количество страниц, которые Катя прочитает во второй день (\(a_2\)), мы можем использовать формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

В данном случае, \(n = 2\), \(a_1 = 5\) и \(d = 2\), поэтому:

\[a_2 = 5 + (2-1) \cdot 2 = 5 + 2 = 7\]

Итак, во второй день Катя прочитает 7 страниц.

Аналогичным образом, мы можем найти число страниц, которые Катя прочитает на третий день (\(a_3\)):

\[a_3 = 5 + (3-1) \cdot 2 = 5 + 4 = 9\]

Таким образом, на третий день Катя прочитает 9 страниц.

Мы замечаем, что количество страниц, которое Катя прочитает каждый день, образует арифметическую прогрессию:

5, 7, 9, ...

Заметим также, что разность прогрессии равна 2 (так как каждый следующий день она читает на 2 страницы больше).

Теперь задача сводится к определению количества дней, которое потребуется Кате, чтобы закончить чтение книги через две недели. В две недели (14 дней) она будет читать каждый день по одной странице больше:

5, 7, 9, 11, 13, ...

Мы видим, что в каждый следующий день Катя будет читать на 2 страницы больше по сравнению с предыдущим днем.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти сумму первых \(n\) членов этой арифметической прогрессии и приравнять ее к общему количеству страниц в книге.

Для этого нам понадобится формула для суммы \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член арифметической прогрессии.

Мы знаем, что \(a_1 = 5\) и разность прогрессии \(d = 2\). Также нам известно, что общее количество страниц в книге будет равно сумме первых \(n\) членов.

Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для решения задачи. Для удобства записи в формуле вместо \(n\) мы можем использовать \(k\), так как общее количество дней равно количеству страниц:

\[S_k = \frac{k}{2} \cdot (a_1 + a_k)\]

Теперь мы можем анализировать выражение и приступить к решению задачи.

У нас есть следующая информация:

\[S_k = \frac{k}{2} \cdot (5 + a_k)\]

Обратим внимание, что \(a_k\) равно количеству страниц, которое Катя прочитает \(k\)-й день. Нам известно, что она заканчивает чтение книги через две недели, то есть через 14 дней. Поэтому \(k = 14\). Теперь мы можем записать новое выражение:

\[S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (5 + a_{14})\]

Осталось узнать значение \(a_{14}\). Мы знаем, что Катя начинает с 5 страниц и каждый день будет читать на 2 страницы больше. Это означает, что \(a_k = 5 + (k-1) \cdot 2\).

Подставляем \(k = 14\) в это выражение:

\[a_{14} = 5 + (14-1) \cdot 2 = 5 + 13 \cdot 2 = 5 + 26 = 31\]

Теперь мы можем продолжить расчеты:

\[S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (5 + 31)\]
\[S_{14} = 7 \cdot 36\]
\[S_{14} = 252\]

Таким образом, сумма первых 14 членов арифметической прогрессии равна 252.

Также мы знаем, что сумма первых \(k\) членов должна равняться общему количеству страниц в книге. Поэтому:

\[252 = k\]

Решаем уравнение:

\[k = 252\]

Значит, в книге всего 252 страницы.

Проверим наше решение:

Катя начинает чтение с 5 страниц, во второй день прочитает 7 страниц, в третий день - 9 страниц и так далее, пока не закончит чтение книги через две недели. Подсчитаем количество страниц:

\[5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 252\]

Получили то же самое число, что и ранее. Значит, наше решение верное. В книге всего 252 страницы.