Катер вышел из пункта А и достиг пункта В, расстояние между которыми составляло 77 км. Затем он вернулся обратно

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу расстояния, которая выражает связь между скоростью, временем и расстоянием:

\[D = V \cdot T \]

где D - расстояние, V - скорость, а T - время.

Пусть \(V_1\) будет скоростью катера при движении от А до В, а \(V_2\) - скоростью катера при движении от B до A.

Из условия задачи, мы знаем, что расстояние между пунктами А и В составляет 77 км, и скорость течения реки равна 4 км/ч.

Таким образом, время, затраченное катером на движение от A до B, можно записать следующим образом:

\[T_1 = \frac{77}{V_1 - 4}\]

А время, затраченное на движение от B до A:

\[T_2 = \frac{77}{V_2 + 4}\]

Из условия задачи также известно, что время, затраченное на обратный путь (от B до A), на 2 часа меньше времени, затраченного на прямой путь (от A до B), то есть:

\[T_2 = T_1 - 2\]

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя полученные выражения для времени:

\[\begin{cases} T_1 = \frac{77}{V_1 - 4} \\ T_1 - 2 = \frac{77}{V_2 + 4} \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений по отношению к скоростям катера.

Используем второе уравнение для нахождения \(T_1\):

\[T_1 = \frac{77}{V_2 + 4} + 2\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[\frac{77}{V_2 + 4} + 2 = \frac{77}{V_1 - 4}\]

Упростим уравнение, умножив обе части на \(V_1 - 4\):

\[77(V_1 - 4) + 2(V_1 - 4)(V_2 + 4) = 77(V_2 + 4)\]

Раскроем скобки:

\[77V_1 - 308 + 2(V_1^2 - 16) = 77V_2 + 308\]

Распишем \(2(V_1^2 - 16)\):

\[2V_1^2 - 32 = 77V_2 + 308 - 77V_1 + 308\]

Упростим уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[2V_1^2 - 77V_2 - 77V_1 + 628 = 0\]

Теперь мы получили уравнение относительно \(V_1\). Чтобы найти значение скорости катера \(V_1\), требуется составить еще одно уравнение, определяющее связь между \(V_1\) и \(V_2\).

Для этого воспользуемся формулой скорости, которая учитывает скорость течения реки:

\[V_1 - V_2 = 4\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.