Канша жолдорбаны тиеды 14 шабадан жанеді?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться с понятием цикла. Цикл - это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке. В данной задаче нужно найти количество путей длиной 14 шагов, которые не возвращаются на стартовую точку.

Для решения этой задачи, воспользуемся комбинаторикой. Пусть каждый шаг может быть сделан в трех возможных направлениях: вперед, влево или вправо. Тогда для каждого шага у нас есть 3 возможности для следующего шага.

Используем принцип умножения, чтобы найти общее количество путей. У нас есть 3 выбора на каждом шаге, и у нас 14 шагов, поэтому общее количество путей равно \(3^{14}\).

Теперь рассмотрим пути, которые возвращаются на стартовую точку. Если путь вернулся на стартовую точку после нескольких шагов, это означает, что на некотором шаге влево или вправо мы делали столько же шагов, сколько вперед. Например, путь "вперед, влево, вперед, вправо" вернется на стартовую точку после 4 шагов.

Для понимания этого пусть, представим каждый шаг как две команды: движение влево и движение вправо. Тогда путь "вперед, влево, вперед, вправо" можно записать так: "вперед, \(L1, L2\), вперед, \(R1, R2\)". Каждая "L" команда соответствует шагу влево, а каждая "R" команда - шагу вправо.

Теперь нам нужно найти количество путей с одинаковым количеством "L" и "R" команд на разных позициях. Мы можем это сделать, используя биномиальный коэффициент. Общее количество таких путей будет равно сумме биномиальных коэффициентов для всех возможных значений команд.

В нашем случае, у нас 14 шагов, и нам нужно найти количество путей с 7 "L" командами и 7 "R" командами. Биномиальный коэффициент для этого равен \(\binom{14}{7}\), что можно вычислить как \(\frac{14!}{7! \cdot (14-7)!}\).

Теперь нужно вычесть количество путей, которые возвращаются на стартовую точку, из общего количества путей. Таким образом, ответ на задачу будет равен:

\[3^{14} - \binom{14}{7}\]