Какова площадь поверхности полной поверхности правильной четырехугольной призмы, если известно, что боковое ребро равно

Задача: Какова площадь поверхности полной поверхности правильной четырехугольной призмы, если известно, что боковое ребро равно 12 см, а диагональ боковой грани составляет \(10\sqrt{2}\) см?

Чтобы решить эту задачу, давайте ознакомимся со свойствами правильных четырехугольных призм. Правильная четырехугольная призма состоит из двух параллельных правильных четырехугольных оснований и четырех боковых граней, которые представляют собой прямоугольники. В правильной призме все грани имеют одинаковую форму и размеры.

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для вычисления площади поверхности полной поверхности призмы. Площадь поверхности призмы вычисляется как сумма площадей всех ее граней.

Для начала, вычислим площадь каждой боковой грани. Поскольку боковые грани представляют собой прямоугольники, площадь каждой боковой грани равна произведению длину и ширины.

Поскольку известно, что боковое ребро равно 12 см, а диагональ боковой грани составляет \(10\sqrt{2}\) см, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников для вычисления ширины и длины боковой грани.

Давайте обозначим длину боковой грани как \(L\) и ширину как \(W\). Используем теорему Пифагора, чтобы выразить одну из неизвестных величин через другую.

\[
L^2 = (W/2)^2 + (12)^2
\]
\[
L^2 = W^2/4 + 144
\]

Теперь, чтобы выразить площадь каждой боковой грани, умножим длину на ширину:

\[
\text{Площадь боковой грани} = L \times W
\]

Следующим шагом будем вычислять площадь основания призмы. Поскольку основания правильной четырехугольной призмы также представляют собой прямоугольники, площадь каждого основания будет равна произведению длины и ширины основания.

На данном этапе у нас есть только длина одной из боковых граней, а нам необходима длина основания. Однако, по свойству правильной призмы, все боковые грани равны между собой, поэтому длина основания будет такой же, как длина боковой грани \(L\).

Теперь мы можем вычислить площадь одного основания, умножив длину и ширину основания:

\[
\text{Площадь одного основания} = L \times L = L^2
\]

Наконец, чтобы получить площадь поверхности полной поверхности призмы, мы должны сложить площади всех граней:
\[
\text{Площадь полной поверхности призмы} = \text{Площадь боковой грани} \times 2 + \text{Площадь основания} \times 2
\]

Подставим в формулу значения площадей боковых граней и основания:

\[
\text{Площадь полной поверхности призмы} = L \times W \times 2 + L^2 \times 2
\]

Теперь нам остается только подставить значения длины боковой грани и ширины, которые мы получили ранее:

\[
\text{Площадь полной поверхности призмы} = (10\sqrt{2}) \times (12) \times 2 + (10\sqrt{2})^2 \times 2
\]

Далее нужно выполнить вычисления и привести ответ к необходимому формату.