Какую жесткость пружины необходимо выбрать, чтобы период колебаний груза уменьшился в два раза, если его сейчас

Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала, давайте определим формулу периода колебаний пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебания, \(\pi\) - математическая константа \(3.14\), \(m\) - масса груза и \(k\) - жесткость пружины.

Теперь, нам нужно найти жесткость пружины, при которой период колебания груза будет уменьшен вдвое. Давайте обозначим новую жесткость пружины как \(k_1\).

Исходя из задания, период колебания груза с новой жесткостью будет равен половине от исходного периода:

\[\frac{T}{2} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}\]

Давайте теперь выразим \(k_1\) из этого уравнения:

\[\sqrt{\frac{m}{k_1}} = \frac{T}{4\pi}\]

Теперь, возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[\frac{m}{k_1} = \left(\frac{T}{4\pi}\right)^2\]

Затем, домножим обе стороны на \(k_1\) и поделим на \(\left(\frac{T}{4\pi}\right)^2\):

\[k_1 = \frac{m}{\left(\frac{T}{4\pi}\right)^2}\]

Вставим значения в формулу и проведем вычисления:

\[k_1 = \frac{m}{\left(\frac{T}{4\pi}\right)^2} = \frac{m}{\frac{T^2}{16\pi^2}} = \frac{16\pi^2m}{T^2}\]

Таким образом, чтобы период колебания груза уменьшился в два раза, необходимо выбрать пружину с жесткостью \(k_1 = \frac{16\pi^2m}{T^2}\).

Подставьте значения массы груза \(m\) и жесткости пружины \(k = 400\, \text{Н/м}\) в это выражение, чтобы получить значение новой жесткости пружины \(k_1\).