Какую высоту должна иметь прямоугольная коробка из прямоугольного листа картона с разными сторонами 80 см и

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать оптимизацию функции объема коробки.

Пусть сторона, из которой вырезаются квадраты, равна \( x \) см. Тогда длина коробки будет равна \( 80 - 2x \) см, а ширина — \( 50 - 2x \) см.

Объем коробки можно выразить следующей формулой:

\[ V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x) \]

Для нахождения максимального объема, нужно найти максимум этой функции.

Сначала найдем производную функции объема \( V(x) \):

\[ V"(x) = (80 - 2x)(50 - 2x) + x(-2)(50 - 2x) + x(80 - 2x)(-2) \]

Упрощаем выражение:

\[ V"(x) = 4x^2 - 260x + 4000 \]

Чтобы найти критические точки, приравниваем производную к нулю и решаем получившееся уравнение:

\[ 4x^2 - 260x + 4000 = 0 \]

Далее, используя квадратное уравнение, находим два значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]
\[ x_2 = \frac{{-b - \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

В нашем случае:

\[ a = 4, b = -260, c = 4000 \]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[ x_1 \approx 8.6603 \]
\[ x_2 \approx 46.3397 \]

Так как сторона коробки не может быть больше половины ширины или длины листа картона, то \( x \) должно быть меньше или равно 25.

Проверим оба полученных значения:

При \( x \approx 8.6603 \):
\[ V(x) \approx 8.6603 \cdot (80 - 2 \cdot 8.6603) \cdot (50 - 2 \cdot 8.6603) \approx 16060.6 \]

При \( x \approx 46.3397 \):
\[ V(x) \approx 46.3397 \cdot (80 - 2 \cdot 46.3397) \cdot (50 - 2 \cdot 46.3397) \approx 16060.6 \]

Таким образом, чтобы достичь максимального объема, высота прямоугольной коробки должна быть примерно 8.6603 см, а длина и ширина — 62.6794 см и 32.6794 см соответственно.