Какую температуру должен достичь латунный шар, чтобы он не мог проходить через кольцо радиусом 20,1 см, если

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать закон линейного расширения твердых тел из физики.

Закон линейного расширения утверждает, что при изменении температуры у твердого тела изменяются его размеры пропорционально исходным размерам. Формула этого закона выглядит следующим образом:

\[\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T\]

где:
\(\Delta L\) - изменение длины тела,
\(\alpha\) - коэффициент линейного расширения материала (для латуни он составляет около \(18 \times 10^{-6} \, \text{К}^{-1}\)),
\(L\) - исходная длина тела,
\(\Delta T\) - изменение температуры.

В данной задаче исходный диаметр шара равен 20,1 см, или 0,201 м в метрической системе.

Нам нужно найти температуру, при которой шар не сможет пройти через кольцо. Это означает, что диаметр шара должен увеличиться таким образом, чтобы он стал больше диаметра кольца.

Давайте обозначим начальную температуру как \(T_1\) и искомую температуру как \(T_2\).

Исходя из формулы закона линейного расширения, мы можем записать:

\[(D_2 - D_1) = \alpha \cdot D_1 \cdot (T_2 - T_1)\]

Где:
\(D_1\) - исходный диаметр шара (20,1 см или 0,201 м),
\(D_2\) - диаметр шара при температуре \(T_2\).

Так как диаметр шара равен двукратному радиусу (\(D = 2r\)), мы можем изменить формулу:

\[(2r_2 - 2r_1) = \alpha \cdot 2r_1 \cdot (T_2 - T_1)\]

Где:
\(r_1\) - исходный радиус шара (половина исходного диаметра),
\(r_2\) - радиус шара при температуре \(T_2\).

Теперь давайте подставим известные значения в уравнение. Исходный диаметр шара равен 0,201 м, поэтому его радиус равен:

\(r_1 = \frac{0,201}{2} = 0,1005\) м

Также у нас есть коэффициент линейного расширения для латуни (\(\alpha = 18 \times 10^{-6} \, \text{К}^{-1}\)).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[(2r_2 - 2 \cdot 0,1005) = (18 \times 10^{-6}) \cdot (2 \cdot 0,1005) \cdot (T_2 - 18)\]

По сути, нам нужно решить это уравнение относительно \(T_2\) и найти значения температуры, которые делают левую сторону больше или равной диаметру кольца (20,1 см или 0,201 м).

Теперь, чтобы решить это уравнение, давайте сначала распишем его:

\[2r_2 - 2 \cdot 0,1005 = (18 \times 10^{-6}) \cdot 2 \cdot 0,1005 \cdot (T_2 - 18)\]

\[2r_2 - 2 \cdot 0,1005 = 18 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18)\]

Теперь, выполняя простые математические операции, мы можем сократить некоторые выражения:

\[2r_2 = 2 \cdot 0,1005 + 18 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18)\]

\[r_2 = 0,1005 + 9 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18)\]

Теперь у нас есть выражение для радиуса шара при температуре \(T_2\). Мы можем приступить к решению уравнения.

Используя это новое значение радиуса, мы можем найти диаметр шара:

\[D_2 = 2r_2\]

\[D_2 = 2 \cdot (0,1005 + 9 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18))\]

Теперь нам нужно найти температуру \(T_2\), при которой диаметр шара становится больше или равным диаметру кольца.

\[D_2 \geq 0,201\]

\[2 \cdot (0,1005 + 9 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18)) \geq 0,201\]

Теперь давайте решим это неравенство, чтобы найти диапазон значений для \(T_2\).

\[0,201 + 2 \cdot 9 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18) \geq 0,201\]

Теперь выполняем простые математические операции:

\[2 \cdot 9 \times 10^{-6} \cdot 0,201 \cdot (T_2 - 18) \geq 0\]

\[(T_2 - 18) \geq 0\]

\[T_2 \geq 18\]

Отсюда следует, что температура шара должна быть не менее 18 градусов Цельсия, чтобы он не мог проходить через кольцо радиусом 20,1 см.

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять, как решать данную физическую задачу.