Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы он перешел на орбиту с радиусом вдвое больше исходной? Ответ

Для того чтобы искусственный спутник перешел на орбиту с радиусом вдвое больше исходной, необходимо учесть законы сохранения энергии и механики.

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее. Исходная орбита имеет радиус \(r\), а центр притяжения спутника находится на расстоянии \(R\) от центра Земли, где \(R\) - радиус Земли.

Перейдем к закону сохранения энергии. По данному закону сумма кинетической и потенциальной энергии тела должна быть постоянной.

На исходной орбите, кинетическая энергия спутника равна \(K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2\), где \(m\) - масса спутника, а \(v_1\) - скорость на исходной орбите. Потенциальная энергия на этой орбите равна \(P_1 = -\frac{GMm}{r}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли.

На новой орбите, кинетическая энергия спутника будет равна \(K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2\), где \(v_2\) - скорость на новой орбите. Потенциальная энергия на новой орбите равна \(P_2 = -\frac{GMm}{2r}\).

Используя закон сохранения энергии, мы можем записать следующее уравнение:

\[K_1 + P_1 = K_2 + P_2\]

\[\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{2r}\]

Масса спутника \(m\) в обоих частях уравнения сократится. Мы можем упростить уравнение:

\[\frac{1}{2}v_1^2 - \frac{GM}{r} = \frac{1}{2}v_2^2 - \frac{GM}{2r}\]

Теперь нам нужно выразить скорость \(v_2\) через скорость \(v_1\). Для этого мы заметим, что радиус новой орбиты вдвое больше радиуса исходной орбиты (\(2r\)), поэтому:

\[\frac{GM}{r} = \frac{GM}{2r}\]

Исключая этот член из уравнения, получим:

\[\frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}v_2^2\]

Теперь можем найти скорость \(v_2\):

\[v_2 = v_1\]

Таким образом, скорость искусственного спутника должна остаться неизменной при переходе на орбиту с радиусом вдвое больше исходной.

Важно отметить, что наше предположение основано на допущении, что нет других факторов, таких как сопротивление атмосферы, которые могут влиять на движение спутника. В реальности могут быть некоторые влияния, которые могут привести к небольшим изменениям скорости. Однако, в рамках математической модели, представленной выше, скорость спутника остается постоянной.