Какую разность следует выбрать для арифметической прогрессии, чтобы минимизировать значение произведения её 3-го и 5-го

Для того чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого члена арифметической прогрессии, нам необходимо выбрать оптимальную разность между членами прогрессии. Давайте выполним пошаговое решение задачи.

1. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
Где \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между членами прогрессии.

2. Выразим третий и пятый члены прогрессии через \(a_1\) и \(d\):
\[a_3 = a_1 + 2d\]
\[a_5 = a_1 + 4d\]

3. Найдем произведение третьего и пятого члена:
\[P = a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\]

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[P = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\]

5. Теперь у нас есть формула для выражения произведения в зависимости от \(a_1\) и \(d\). Нужно найти такие значения \(a_1\) и \(d\), для которых произведение \(P\) будет минимальным.

6. Чтобы найти минимум функции, можем воспользоваться производной. Дифференцируем функцию \(P\) по переменной \(d\):
\[\frac{dP}{dd} = 6a_1 + 16d\]

7. Положим производную равной нулю и решим полученное уравнение относительно \(d\):
\[6a_1 + 16d = 0\]

8. Решим полученное уравнение относительно \(d\):
\[16d = -6a_1\]
\[d = \frac{-6a_1}{16}\]

9. Подставим найденное значение \(d\) обратно в формулу для \(P\) и упростим выражение:
\[P = a_1^2 - \frac{27a_1^2}{4}\]

10. Теперь нам нужно найти такое значение \(a_1\), при котором произведение будет минимальным. Для этого нам необходимо найти экстремум функции \(P\) путем нахождения ее экстремальных значений. Для экстремума требуется, чтобы первая производная была равна нулю, а вторая производная была отрицательной.

11. Найдем первую производную \(P\) по переменной \(a_1\):
\[\frac{dP}{da_1} = 2a_1 - \frac{27a_1^2}{2}\]

12. Положим первую производную равной нулю и решим полученное уравнение относительно \(a_1\):
\[2a_1 - \frac{27a_1^2}{2} = 0\]

13. Решим полученное уравнение относительно \(a_1\):
\[4a_1 - 27a_1^2 = 0\]
\[a_1(4 - 27a_1) = 0\]

14. Решаем уравнение \(4 - 27a_1 = 0\) и находим значение \(a_1 = \frac{4}{27}\)

15. Подставим найденное значение \(a_1\) обратно в выражение для \(d\):
\[d = \frac{-6a_1}{16} = \frac{-6 \cdot \frac{4}{27}}{16} = \frac{-24}{432} = -\frac{1}{18}\]

Таким образом, чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого членов арифметической прогрессии, необходимо выбрать разность \(d = -\frac{1}{18}\).