Какую разность следует выбрать для арифметической прогрессии, чтобы минимизировать значение произведения её 3-го и 5-го

Для того чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого члена арифметической прогрессии, нам необходимо выбрать оптимальную разность между членами прогрессии. Давайте выполним пошаговое решение задачи.

1. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
Где $a_n$ - значение n-го члена прогрессии, $a_1$ - значение первого члена прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии, $d$ - разность между членами прогрессии.

2. Выразим третий и пятый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$$a_3=a_1+2d$$
$$a_5=a_1+4d$$

3. Найдем произведение третьего и пятого члена:
$$P=a_3\cdot a_5=(a_1+2d)\cdot (a_1+4d)$$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$P=a_1^2+6a_{1}d+8d^2$$

5. Теперь у нас есть формула для выражения произведения в зависимости от $a_1$ и $d$. Нужно найти такие значения $a_1$ и $d$, для которых произведение $P$ будет минимальным.

6. Чтобы найти минимум функции, можем воспользоваться производной. Дифференцируем функцию $P$ по переменной $d$:
$$\frac{dP}{dd}=6a_1+16d$$

7. Положим производную равной нулю и решим полученное уравнение относительно $d$:
$$6a_1+16d=0$$

8. Решим полученное уравнение относительно $d$:
$$16d=-6a_1$$
$$d=\frac{-6a_1}{16}$$

9. Подставим найденное значение $d$ обратно в формулу для $P$ и упростим выражение:
$$P=a_1^2-\frac{27a_1^2}{4}$$

10. Теперь нам нужно найти такое значение $a_1$, при котором произведение будет минимальным. Для этого нам необходимо найти экстремум функции $P$ путем нахождения ее экстремальных значений. Для экстремума требуется, чтобы первая производная была равна нулю, а вторая производная была отрицательной.

11. Найдем первую производную $P$ по переменной $a_1$:
$$\frac{dP}{d{a}_1}=2a_1-\frac{27a_1^2}{2}$$

12. Положим первую производную равной нулю и решим полученное уравнение относительно $a_1$:
$$2a_1-\frac{27a_1^2}{2}=0$$

13. Решим полученное уравнение относительно $a_1$:
$$4a_1-27a_1^2=0$$
$$a_1(4-27a_1)=0$$

14. Решаем уравнение $4-27a_1=0$ и находим значение $a_1=\frac{4}{27}$

15. Подставим найденное значение $a_1$ обратно в выражение для $d$:
$$d=\frac{-6a_1}{16}=\frac{-6\cdot \frac{4}{27}}{16}=\frac{-24}{432}=-\frac{1}{18}$$

Таким образом, чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого членов арифметической прогрессии, необходимо выбрать разность $d=-\frac{1}{18}$.