Какую площадь занимает закрашенная фигура внутри выпуклого четырехугольника, если средние точки диагоналей соединены

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры внутри выпуклого четырехугольника, построим сначала средние линии диагоналей и соединим их с двумя противоположными вершинами. Посмотрим на получившуюся фигуру.


Заметим, что получившийся четырехугольник разбивается на множество меньших треугольников. Найдем площади этих треугольников и сложим их, чтобы получить площадь закрашенной фигуры.

Для начала, обозначим вершины выпуклого четырехугольника как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Также обозначим средние точки диагоналей как \(M\) и \(N\). Для удобства, обозначим точку пересечения средних линий диагоналей как \(O\).


Определим два треугольника: треугольник \(AMO\) и треугольник \(BNO\). Обратим внимание, что они равносторонние, так как медианы разбивают соответствующие диагонали пополам.

Теперь рассмотрим треугольник \(AOD\). У него сторона \(AO\) равна половине диагонали \(AC\), так как \(O\) - это средняя точка диагонали \(AC\).

Таким образом, площадь треугольника \(AOD\) равна:

\[\frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD\]

Так как треугольник прямоугольный, мы знаем, что \(OD\) равно половине диагонали \(BD\). Также, так как треугольник равносторонний, сторона \(AO\) равна половине стороны \(AC\). Обозначим сторону \(AC\) как \(a\). Тогда площадь треугольника \(AOD\) равна:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{BD}{2} = \frac{a \cdot BD}{8}\]

Аналогично, площадь треугольника \(CBO\) равна:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{BD}{2} = \frac{a \cdot BD}{8}\]

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна сумме площадей треугольников \(AOD\) и \(CBO\):

\[\frac{a \cdot BD}{8} + \frac{a \cdot BD}{8} = \frac{a \cdot BD}{4}\]

Итак, площадь закрашенной фигуры внутри выпуклого четырехугольника, если средние точки диагоналей соединены с двумя вершинами, равна \(\frac{a \cdot BD}{4}\), где \(a\) - сторона четырехугольника, а \(BD\) - диагональ.