Какую площадь нужно вычислить? У вас даны два графика: y = x^2 - x и y = -x^2

Данная задача требует вычисления площади, ограниченной двумя заданными графиками. Первый график представлен уравнением y = x^2 - x, а второй график — y = -x^2. Чтобы определить площадь, необходимо найти точки пересечения этих двух функций. Помните, что площадь будет вычислена как разность между интегралами данных функций на заданном интервале.

Давайте найдем точку пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем уравнения:

x^2 - x = -x^2

Теперь решим это уравнение. Просуммируем оба слагаемых и приведем подобные:

2x^2 - x = 0

Теперь факторизуем уравнение:

x(2x - 1) = 0

Из этого уравнения мы получаем два решения:

x = 0 или 2x - 1 = 0

x = 0 или x = 1/2

Теперь мы знаем, что графики пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1/2, -1/8). Площадь между графиками на данном интервале будет равна модулю разности между интегралами этих функций на этом интервале.

Давайте найдем эту площадь. Интеграл функции f(x) на интервале [a, b] представляется следующей формулой:

\[\int_{a}^{b} f(x) dx\]

Таким образом, площадь будет равна:

\[\left| \int_{0}^{1/2} (x^2 - x) dx - \int_{0}^{1/2} (-x^2) dx \right|\]

Вычислим эти интегралы:

\[\left| \int_{0}^{1/2} (x^2 - x) dx - \int_{0}^{1/2} (-x^2) dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1/2} - \left[ - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1/2} \right|\]

Подставим пределы интегрирования и вычислим:

\[\left| \left[ \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 \right] - \left[ - \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 \right] \right|\]

\[\left| \left[ \frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right] - \left[ - \frac{1}{24} \right] \right|\]

\[\left| \frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{24} \right|\]

\[\left| -\frac{1}{8} \right|\]

Ответ: Площадь, ограниченная двумя заданными графиками y = x^2 - x и y = -x^2 на интервале [0, 1/2], составляет \(\frac{1}{8}\) площади единичного квадрата.