Какую площадь имеет прямоугольник с периметром 84 см, при условии, что его ширина составляет

Давайте решим задачу о площади прямоугольника с периметром 84 см, с условием, что его ширина составляет \(x\) см.

Периметр прямоугольника определяется как сумма всех его сторон. В данном случае у нас есть две одинаковые стороны -- ширина и длина прямоугольника. Поэтому периметр можно выразить формулой:

\[P = 2 \cdot (\text{ширина} + \text{длина})\]

Мы знаем, что периметр равен 84 см, поэтому мы можем записать уравнение:

\[84 = 2 \cdot (x + \text{длина})\]

Чтобы найти длину прямоугольника, нам нужно избавиться от коэффициента 2 в левой части уравнения. Для этого разделим обе части на 2:

\[\frac{84}{2} = x + \text{длина}\]

Упростим это выражение:

\[42 = x + \text{длина}\]

Теперь мы можем найти длину прямоугольника, вычтя \(x\) из обеих частей уравнения:

\[\text{длина} = 42 - x\]

Теперь у нас есть выражение для длины прямоугольника. Площадь прямоугольника определяется как произведение его ширины и длины. Поэтому мы можем выразить площадь \(S\) следующим образом:

\[S = \text{ширина} \cdot \text{длина}\]

Подставим выражение для длины:

\[S = x \cdot (42 - x)\]

У нас теперь есть выражение для площади прямоугольника в зависимости от его ширины. Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти значение ширины \(x\), при котором площадь достигает максимума.

Для этого нужно взять производную от формулы площади по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dS}{dx} = 42 - 2x = 0\]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \(x\):

\[42 - 2x = 0\]

\[2x = 42\]

\[x = 21\]

Таким образом, ширина прямоугольника равна 21 см. Чтобы найти длину, подставим это значение в наше выражение для длины:

\[\text{длина} = 42 - 21 = 21\]

Длина также равна 21 см.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника, подставив значения ширины и длины в формулу площади:

\[S = 21 \cdot 21 = 441\]

Получается, что площадь прямоугольника с периметром 84 см и шириной 21 см равна 441 квадратному сантиметру.