Какую площадь имеет боковая поверхность вписанной прямой призмы, основание которой является ромбом с острым углом

Чтобы найти площадь боковой поверхности вписанной прямой призмы, нам нужно вычислить площадь цилиндра, который находится внутри. Давайте начнем с расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра выражается формулой:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh\]

где
\(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159,
\(r\) - радиус основания цилиндра,
\(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 162π см². Поэтому, мы можем записать уравнение и решить его:

\[2\pi rh = 162\pi\]

Мы знаем, что высота цилиндра равна 18 см, поэтому мы можем заменить \(h\) в уравнении:

\[2\pi r \cdot 18 = 162\pi\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение радиуса \(r\):

\[36\pi r = 162\pi\]

Делаем перенос:

\[r = \frac{162\pi}{36\pi}\]

Сокращаем \(\pi\):

\[r = \frac{9}{2}\]

Таким образом, радиус цилиндра равен \(\frac{9}{2}\) см.

Теперь, когда мы знаем радиус цилиндра, мы можем перейти к расчету площади боковой поверхности вписанной прямой призмы.

Основание этой призмы - это ромб с острым углом 45°. Чтобы найти площадь его боковой поверхности, нам нужно знать длину его стороны. Учитывая особенности ромба, мы можем найти сторону, основываясь на известной высоте первого цилиндра. Обозначим длину стороны ромба как \(a\).

Так как ромб имеет острый угол 45°, мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников и получить следующее уравнение:

\[a = 2r\]

Теперь мы можем вычислить длину стороны ромба:

\[a = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9\]

Таким образом, длина стороны ромба равна 9 см.

Площадь боковой поверхности вписанной прямой призмы выражается формулой:

\[S_{\text{бок}} = p \cdot h\]

где
\(p\) - периметр основания (в нашем случае это периметр ромба),
\(h\) - высота (т.е. высота цилиндра).

Можем выразить площадь боковой поверхности призмы через сторону ромба:

\[S_{\text{бок}} = 9p \cdot 18\]

У нас отсутствует значение периметра ромба, поэтому нам нужно найти это значение. Из свойств ромба, мы знаем, что периметр ромба вычисляется следующим образом:

\[p = 4a\]

Подставляем значение длины стороны ромба, которое мы вычислили ранее:

\[p = 4 \cdot 9 = 36\]

Таким образом, периметр ромба равен 36 см.

Теперь, когда у нас есть значение периметра основания и значение высоты, давайте вычислим площадь боковой поверхности вписанной призмы:

\[S_{\text{бок}} = 9 \cdot 36 \cdot 18\]

\[S_{\text{бок}} = 5832 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности вписанной прямой призмы равна 5832 см².