1) Когда углы правильного треугольника со стороной 6 см были срезаны, образовался правильный шестиугольник. Найдите

Хорошо, давайте рассмотрим обе задачи по очереди.

1) Когда углы правильного треугольника со стороной 6 см были срезаны, образовался правильный шестиугольник. Нам нужно найти длину стороны нового шестиугольника.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все три стороны и все три угла равны. Так как у нас есть сторона треугольника, равная 6 см, мы можем использовать это значение для решения задачи.

Для начала, давайте найдем длину стороны шестиугольника. У шестиугольника все стороны также равны. Давайте обозначим эту длину как \(x\) см.

В правильном шестиугольнике каждый угол равен 120 градусам. Так как у нас срезали углы правильного треугольника, то углы шестиугольника стали равными. Здесь нам поможет свойство шестиугольника: сумма всех его углов равна 720 градусам.

Таким образом, каждый угол нового шестиугольника равен \(\frac{720}{6} = 120\) градусов.

Для решения задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольника и треугольника равнобедренного. Опираясь на это, мы можем построить равнобедренный треугольник внутри правильного шестиугольника, соединив его вершины с серединами сторон шестиугольника. Такой треугольник будет равнобедренным, потому что все его стороны будут равны.

Теперь давайте рассмотрим этот равнобедренный треугольник. Он будет иметь основание, которое равно длине стороны шестиугольника \(x\) см, и равнобедренные стороны длиной 6 см каждая.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам и проходит через вершину. Используя это свойство, мы можем найти высоту равнобедренного треугольника.

Применяя теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, мы можем решить следующее уравнение:
\[3^2 = h^2 + (3/2)^2\]

Решаем это уравнение и находим значение высоты:
\[h = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36-9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Так как высота равнобедренного треугольника проходит через вершину и делит сторону шестиугольника пополам, мы можем найти половину стороны шестиугольника, используя найденное значение высоты.

Половина стороны шестиугольника будет равна \(\frac{x}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}\), а так как все стороны шестиугольника равны, мы можем написать равенство:
\(\frac{x}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 6\)

Теперь давайте решим это уравнение. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\(x - 3\sqrt{3} = 12\)

Прибавим \(3\sqrt{3}\) к обеим частям:
\(x = 12 + 3\sqrt{3}\)

Таким образом, длина стороны нового шестиугольника равна \(x = 12 + 3\sqrt{3}\) см.

2) Теперь давайте рассмотрим вторую задачу. Когда углы правильного треугольника были срезаны таким образом, что образовался правильный шестиугольник со стороной 8 см. Мы хотим найти длину стороны исходного треугольника.

Мы можем использовать те же свойства правильного шестиугольника, которые мы упомянули в первой задаче.

При этом нам нужно найти длину стороны исходного треугольника, которую мы обозначим как \(y\) см.

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник, который мы можем построить внутри правильного шестиугольника по аналогии с первой задачей. У этого равнобедренного треугольника длина стороны будет равна \(y\) см, а основание будет длиной 8 см.

Мы знаем, что высота равнобедренного треугольника делит его основание на две равные части и проходит через вершину. Таким образом, высота равнобедренного треугольника будет равна \(h = \frac{y}{2}\).

Используя теорему Пифагора, мы можем решить следующее уравнение:
\[(\frac{y}{2})^2 = 4^2 - (\frac{8}{2})^2\]
\[(\frac{y}{2})^2 = 16 - 16\]
\[(\frac{y}{2})^2 = 0\]

Из этого уравнения видно, что \(\frac{y}{2} = 0\), что означает, что \(y = 0\).

Таким образом, мы приходим к выводу, что длина стороны исходного треугольника равна 0 см.

Мы можем заключить, что такое задание с несуществующим размером стороны треугольника не имеет решения в данном контексте исходной задачи.

Обращайтесь, если у вас есть еще вопросы!