Какую относительную точность измерения скорости звука в гелии Δυзв/υзв нужно иметь, чтобы обнаружить примесь аргона

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для скорости звука в газах:

\[ v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} \]

где:
- \( v \) - скорость звука в газе,
- \( \gamma \) - адиабатический показатель,
- \( R \) - универсальная газовая постоянная,
- \( T \) - температура газа,
- \( M \) - молярная масса газа.

Мы хотим найти, какая относительная точность измерения \(\Delta u_{зв}/u_{зв}\) нам необходима для обнаружения примеси аргона в количестве 1% (по количеству молей). Для этого мы можем воспользоваться законом Грэма для скорости звука:

\[ u_{зв}(He) = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_{He}}} \]
\[ u_{зв}(He+Ar) = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_{He+Ar}}} \]

Используя эти формулы, мы можем рассчитать относительную точность измерения как:

\[ \frac{\Delta u_{зв}/u_{зв}}{\Delta x/x} = \frac{\Delta M_{Ar}/M_{He+Ar}}{\Delta u_{зв}/u_{зв}} \]

где:
- \( \Delta M_{Ar}/M_{He+Ar} \) - относительная ошибка в определении молярной массы аргона,
- \( \Delta u_{зв}/u_{зв} \) - относительная ошибка в определении скорости звука.

Для обнаружения примеси аргона в количестве 1%, мы можем записать:

\[ \frac{\Delta M_{Ar}/M_{He+Ar}}{\Delta u_{зв}/u_{зв}} \leq \frac{1}{100} \]

Теперь рассмотрим относительную ошибку в определении молярной массы аргона и скорости звука:

\[ \frac{\Delta M_{Ar}}{M_{He+Ar}} = \frac{\Delta M_{Ar}}{M_{Ar}} \times \frac{M_{Ar}}{M_{He+Ar}} \]
\[ \frac{\Delta u_{зв}}{u_{зв}(He+Ar)} = \frac{\Delta u_{зв}}{u_{зв}(He)} \times \frac{u_{зв}(He)}{u_{зв}(He+Ar)} \]

Для реалистичных значений, предположим, что относительная ошибка в определении молярной массы аргона составляет 1%. Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{\Delta M_{Ar}}{M_{Ar}} = \frac{1}{100} \]
\[ \frac{\Delta u_{зв}}{u_{зв}(He)} = \frac{1}{100} \]

Теперь, подставляем эти значения в неравенство:

\[ \frac{1/100}{\Delta u_{зв}/u_{зв}} \leq \frac{1}{100} \]

Избавившись от знаменателя, получим:

\[ \Delta u_{зв}/u_{зв} \geq 1/100 \]

Таким образом, чтобы обнаружить примесь аргона в количестве 1% (по количеству молей), необходимо иметь относительную точность измерения скорости звука \(\Delta u_{зв}/u_{зв}\), не меньше 1/100 или 0.01.