Какую наименьшую работу необходимо выполнить для удаления одной из добавленных пластин из конденсатора? Обкладки

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале разберемся с понятием работы, необходимой для удаления одной из пластин из конденсатора.

Работа, необходимая для перемещения заряженного тела из одной точки в другую, равна разности потенциальных энергий между этими точками. Для конденсатора эта работа может быть выражена формулой:

\[W = \frac{1}{2} C \left(\frac{Q^2}{C_2} - \frac{Q^2}{C_1}\right)\]

где \(W\) - работа, необходимая для удаления пластины, \(C_1\) и \(C_2\) - емкости конденсатора до и после добавления пластин соответственно, и \(Q\) - заряд на пластинах.

Поскольку мы добавили три пластины, а они параллельно обкладкам, емкость конденсатора увеличилась в 3 раза. То есть \(C_2 = 3C_1\).

Также по условию задачи, энергия конденсатора после добавления пластин стала равной \(w\). По определению энергии конденсатора, она может быть выражена формулой:

\[w = \frac{1}{2} C_2 V^2\]

где \(V\) - напряжение между обкладками конденсатора.

Мы знаем, что емкость конденсатора после добавления пластин равна 3 разам емкости конденсатора до добавления пластин. Таким образом, \(C_2 = 3C_1\).

Подставим это значение в формулу для энергии конденсатора:

\[w = \frac{1}{2} (3C_1) V^2\]

Сокращаем на 2:

\[w = \frac{3}{2} C_1 V^2\]

Теперь, чтобы выразить энергию конденсатора через заряд на пластинах, мы можем использовать формулу для емкости конденсатора:

\[C = \frac{Q}{V}\]

Перепишем это выражение для \(C_1\):

\[C_1 = \frac{Q}{V}\]

Теперь мы можем выразить энергию конденсатора через заряд и напряжение:

\[w = \frac{3}{2} \left(\frac{Q}{V}\right) V^2\]

Сокращаем V:

\[w = \frac{3}{2} Q V\]

Теперь, когда мы выразили энергию конденсатора через заряд, давайте перейдем к работе, необходимой для удаления одной из пластин. Как уже упоминалось, работа равна разности потенциальных энергий, поэтому:

\[W = \frac{1}{2} C \left(\frac{Q^2}{C_2} - \frac{Q^2}{C_1}\right)\]

Подставляем значения \(C_1 = \frac{Q}{V}\) и \(C_2 = 3C_1\):

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q}{V} \left(\frac{Q^2}{3\frac{Q}{V}} - Q^2\right)\]

Сокращаем дробь:

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q}{V} \left(\frac{Q^2}{3\frac{Q}{V}} - Q^2\right)\]

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q}{V} \left(\frac{Q^2}{3\frac{Q}{V}}\left(\frac{Q}{V} - 1\right)\right)\]

Упрощаем:

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q}{V} \left(\frac{Q}{3}\left(\frac{Q}{V} - 1\right)\right)\]

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q}{V} \left(\frac{Q^2}{3V} - \frac{Q}{3}\right)\]

Теперь умножим \(Q/V\) на \(V/V\), чтобы привести выражение к виду с зарядом:

\[W = \frac{1}{2} \left(\frac{QV}{V^2}\right) \left(\frac{Q^2}{3V} - \frac{Q}{3}\right)\]

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q^3}{3V^3} - \frac{1}{2} \frac{Q^2}{3V^2}\]

Осталось заменить \(C = \frac{Q}{V}\) на \(C_1\) и переписать выражение в более удобной для ответа форме:

\[W = \frac{1}{2} \frac{Q^3}{3V^3} - \frac{1}{2} \frac{Q^2}{3V^2}\]

\[W = \frac{1}{6} \frac{Q^3}{V^3} - \frac{1}{6} \frac{Q^2}{V^2}\]

\[W = \frac{1}{6} \frac{Q^2}{V^2} \left(\frac{Q}{V} - 1\right)\]

Наконец, запишем выражение для работы, необходимой для удаления одной из пластин, через емкость (\(C\)) и напряжение (\(V\)):

\[W = \frac{1}{6} C^2 \left(\frac{Q}{C} - 1\right)\]

Таким образом, минимальная работа, необходимая для удаления одной из пластин, равна \(\frac{1}{6} C^2 \left(\frac{Q}{C} - 1\right)\).