Какую минимальную скорость в нижней точке необходимо иметь, чтобы человек на веревочных качелях длиной 5 м смог

Чтобы определить минимальную скорость, необходимую для совершения полного оборота на веревочных качелях, мы можем использовать законы сохранения энергии и центростремительного ускорения. Давайте начнем с применения закона сохранения энергии.

У качелей есть потенциальная и кинетическая энергия. В нижней точке, где качели ближе всего к земле, потенциальная энергия равна нулю, так как высота над землей минимальна. Следовательно, вся энергия переходит в кинетическую энергию.

Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \text{const} \]

Где \( E_{\text{пот}} \) - потенциальная энергия, \( E_{\text{кин}} \) - кинетическая энергия, и const - постоянная.

Теперь рассмотрим формулы для потенциальной и кинетической энергии:

\[ E_{\text{пот}} = mgh \]
\[ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2 \]

Где \( m \) - масса тела, \( g \) - ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с²), \( h \) - высота нижней точки (равная нулю в нашем случае), и \( v \) - скорость тела.

Таким образом, уравнение сохранения энергии примет вид:

\[ mgh + \frac{1}{2}mv^2 = \text{const} \]

Теперь мы можем учесть, что тело движется по окружности (радиусом 5 м), и поэтому на него действует центростремительное ускорение \( a_{\text{цс}} \). Центростремительное ускорение связано со скоростью и радиусом движения следующим образом:

\[ a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{r} \]

где \( r \) - радиус движения.

Нам известно, что при полном обороте \( a_{\text{цс}} \) должно быть равно \( g \) (ускорению свободного падения), так как каждую секунду тело будет оказываться внизу по отношению к начальной точке. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[ \frac{v^2}{r} = g \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( v \) и \( m \)). Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем исключить \( m \) из уравнений, подставив \( m = \frac{\text{const}}{gh} - \frac{1}{2}v^2 \) (из уравнения сохранения энергии) в уравнение центростремительного ускорения:

\[ \frac{v^2}{r} = g \]

\[ \frac{v^2}{r} = g \left( \frac{\text{const}}{gh} - \frac{1}{2}v^2 \right) \]

\[ v^2 = \frac{\text{const}}{h} - \frac{g}{2}v^2 \]

\[ v^2 + \frac{g}{2}v^2 = \frac{\text{const}}{h} \]

\[ v^2 \left(1 + \frac{g}{2}\right) = \frac{\text{const}}{h} \]

\[ v^2 = \frac{\frac{\text{const}}{h}}{1 + \frac{g}{2}} \]

\[ v = \sqrt{\frac{\frac{\text{const}}{h}}{1 + \frac{g}{2}}} \]

Теперь, чтобы найти минимальную скорость, нам нужно найти значение постоянной \( \text{const} \). Мы можем предположить, что в нижней точке у качелей скорость равна 0, поэтому когда \( v = 0 \), \( mgh + \frac{1}{2}mv^2 = 0 \). Раскрыв скобки и упростив уравнение, мы получим \( mg \cdot 0 + \frac{1}{2}m \cdot 0 = 0 \). Таким образом, константа \( \text{const} = 0 \).

Теперь, заменив \( \text{const} = 0 \) в нашем выражении для \( v \), мы получим:

\[ v = \sqrt{\frac{\frac{0}{h}}{1 + \frac{g}{2}}} \]

\[ v = \sqrt{0} = 0 \]

Итак, минимальная скорость, необходимая для совершения полного оборота на веревочных качелях, равна 0. Человек в нижней точке должен начать со стоячего состояния или с небольшой начальной скоростью, чтобы качели раскрутились и он смог совершить полный оборот.