Какую массу должен иметь шарик, чтобы его частота свободных вертикальных гармонических колебаний на лёгкой пружине была

Для решения этой задачи мы должны использовать формулу для периода колебаний \(T\) пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\],

где \(m\) - масса шарика, \(k\) - коэффициент упругости пружины.

По условию, нам нужно найти массу шарика, при которой его частота колебаний будет в два раза больше текущей частоты колебаний.

Частота колебаний связана с периодом следующим образом: \(f = \frac{1}{T}\).

Пусть текущая частота колебаний равна \(f_0\). Тогда, в соответствии с условием задачи, искомая частота колебаний будет равна \(2f_0\).

Определяем период текущих колебаний \(T_0\) и период искомых колебаний \(T_1\):

\[T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\]

где \(M\) - масса шарика, которую мы хотим найти.

Так как частота обратно пропорциональна периоду, то мы можем записать соотношение между частотами колебаний:

\(\frac{1}{T_0} = 2f_0\)
\(\frac{1}{T_1} = 2 \cdot 2f_0\)

Заметим, что коэффициент упругости пружины \(k\) один и тот же для текущих и искомых колебаний, поэтому мы можем сократить его:

\(\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{M}{k}}\)
\(\sqrt{m} = \sqrt{M}\)

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим:

\(m = M\)

Таким образом, масса нового шарика должна быть равна массе текущего шарика.

Итак, чтобы частота свободных вертикальных гармонических колебаний шарика на лёгкой пружине была в два раза больше, чем сейчас, масса шарика не должна изменяться. Она должна оставаться такой же, как и сейчас.