Какую градусную меру имеет угол, если точки a, b, c делят окружность на три дуги, причем отношение длин дуг ab, bc и ca составляет 2:3:7?
Загадочный_Эльф
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства окружности и отношения длин дуг. Давайте разберемся по шагам:
1. Предположим, что окружность имеет радиус .
2. По свойству окружности, сумма длин дуг, образованных трёмя точками a, b, и c, равна длине полной окружности, то есть .
3. Обозначим длины дуг ab, bc и ca через , и соответственно.
4. По условию задачи, отношение длин дуг ab, bc и ca составляет 2:3:7. Мы можем записать это следующим образом: .
5. Зная это отношение, мы можем выразить длины дуг через неизвестную : , и .
6. Сумма длин дуг равна длине полной окружности, поэтому мы можем записать уравнение: .
7. Упростив это уравнение, получим: .
8. Для поиска градусной меры угла преобразуем из уравнения в дугу ab. Пусть будет градусной мерой угла.
9. Помним, что градусная мера угла пропорциональна длине дуги. Так как длина полной окружности составляет , а длина дуги ab равна 2k, то: .
10. Упрощаем эту пропорцию: .
11. Чтобы избавиться от неизвестной , воспользуемся другим свойством окружности: равно длине окружности. Таким образом, , а .
12. Подставляем значение в пропорцию: .
13. Упрощаем эту пропорцию: .
14. Чтобы получить значение градусной меры угла , умножим обе части пропорции на 360: .
Теперь у нас есть выражение для градусной меры угла через неизвестную . Мы можем оставить его в таком виде, либо подставить значения и вычислить конкретное значение угла .
1. Предположим, что окружность имеет радиус
2. По свойству окружности, сумма длин дуг, образованных трёмя точками a, b, и c, равна длине полной окружности, то есть
3. Обозначим длины дуг ab, bc и ca через
4. По условию задачи, отношение длин дуг ab, bc и ca составляет 2:3:7. Мы можем записать это следующим образом:
5. Зная это отношение, мы можем выразить длины дуг через неизвестную
6. Сумма длин дуг равна длине полной окружности, поэтому мы можем записать уравнение:
7. Упростив это уравнение, получим:
8. Для поиска градусной меры угла преобразуем
9. Помним, что градусная мера угла пропорциональна длине дуги. Так как длина полной окружности составляет
10. Упрощаем эту пропорцию:
11. Чтобы избавиться от неизвестной
12. Подставляем значение
13. Упрощаем эту пропорцию:
14. Чтобы получить значение градусной меры угла
Теперь у нас есть выражение для градусной меры угла
Знаешь ответ?