Какую градусную меру имеет угол, если точки a, b, c делят окружность на три дуги, причем отношение длин дуг ab, bc

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства окружности и отношения длин дуг. Давайте разберемся по шагам:

1. Предположим, что окружность имеет радиус $r$.
2. По свойству окружности, сумма длин дуг, образованных трёмя точками a, b, и c, равна длине полной окружности, то есть $2\pi r$.
3. Обозначим длины дуг ab, bc и ca через $l_{ab}$, $l_{bc}$ и $l_{ca}$ соответственно.
4. По условию задачи, отношение длин дуг ab, bc и ca составляет 2:3:7. Мы можем записать это следующим образом: $l_{ab}:l_{bc}:l_{ca}=2:3:7$.
5. Зная это отношение, мы можем выразить длины дуг через неизвестную $k$: $l_{ab}=2k$, $l_{bc}=3k$ и $l_{ca}=7k$.
6. Сумма длин дуг равна длине полной окружности, поэтому мы можем записать уравнение: $2k+3k+7k=2\pi r$.
7. Упростив это уравнение, получим: $12k=2\pi r$.
8. Для поиска градусной меры угла преобразуем $r$ из уравнения в дугу ab. Пусть $m$ будет градусной мерой угла.
9. Помним, что градусная мера угла пропорциональна длине дуги. Так как длина полной окружности составляет $2\pi r$, а длина дуги ab равна 2k, то: $\frac{m}{360}=\frac{2k}{2\pi r}$.
10. Упрощаем эту пропорцию: $\frac{m}{360}=\frac{k}{\pi r}$.
11. Чтобы избавиться от неизвестной $r$, воспользуемся другим свойством окружности: $\pi r$ равно длине окружности. Таким образом, $\pi r=2\pi r$, а $r=2$.
12. Подставляем значение $r$ в пропорцию: $\frac{m}{360}=\frac{k}{2\pi \cdot 2}$.
13. Упрощаем эту пропорцию: $\frac{m}{360}=\frac{k}{4\pi }$.
14. Чтобы получить значение градусной меры угла $m$, умножим обе части пропорции на 360: $m=\frac{k}{4\pi }\cdot 360$.

Теперь у нас есть выражение для градусной меры угла $m$ через неизвестную $k$. Мы можем оставить его в таком виде, либо подставить значения $k$ и вычислить конкретное значение угла $m$.