Какую дробь нужно найти, если разница между неправильной дробью и ее обратным числом равна 55/24?

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Итак, нам нужно найти дробь, разница которой с ее обратным числом равна \(\frac{55}{24}\).

Предположим, что искомая дробь равна \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - два целых числа.

Теперь посмотрим на разницу между искомой дробью и ее обратным числом:

\(\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}\).

Мы знаем, что эта разница равна \(\frac{55}{24}\), так что мы можем записать уравнение:

\(\frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{55}{24}\).

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на \(24ab\):

\(a^2 - b^2 = \frac{55}{24} \cdot 24ab\).

Упрощая выражение, получим:

\(a^2 - b^2 = 55ab\).

Теперь, заметим, что данное уравнение может быть представлено в виде разности квадратов:

\((a + b)(a - b) = 55ab\).

Здесь мы видим, что нам нужно разделить искомую дробь на две части, описанные выражениями \(a + b\) и \(a - b\).

Учитывая это, мы можем предложить следующие значения для \(a\) и \(b\):

\[a + b = 55 \quad \text{и} \quad a - b = ab.\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения для \(a\) и \(b\):

\((a + b) + (a - b) = 55 + ab.\)

Упрощая это, мы получаем:

\(2a = 55 + ab\).

Из этого выражения мы можем выразить \(a\) через \(b\) следующим образом:

\[a = \frac{55}{2 - b}.\]

Теперь подставим это значение в одно из исходных уравнений. Давайте подставим \(a\) во второе уравнение:

\(a - b = ab\).

Подставляя \(\frac{55}{2 - b}\) в это уравнение, получаем:

\(\frac{55}{2 - b} - b = \frac{55}{2 - b} \cdot b\).

Теперь, упрощая это уравнение, мы можем решить его относительно \(b\). Получаем:

\(\frac{55}{2 - b} - b = \frac{55b}{2 - b}\).

Распространяя дроби и приводя подобные члены, мы приходим к следующему уравнению:

\(55 - b(2 - b) = 55b\).
\[55 - 2b + b^2 = 55b.\]

Теперь, приведя подобные члены и переписав уравнение, получаем:

\[b^2 + 53b - 55 = 0.\]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта:

\[b = \frac{-53 \pm \sqrt{53^2 + 4 \cdot 55}}{2}.\]

Теперь нам нужно найти два значения \(b\), которые удовлетворяют этому уравнению.

Решим это:

\[b_1 = \frac{-53 - \sqrt{53^2 + 4 \cdot 55}}{2} \approx -52.67\]
\[b_2 = \frac{-53 + \sqrt{53^2 + 4 \cdot 55}}{2} \approx 0.67\]

Итак, мы нашли два значения \(b\), а теперь давайте найдем соответствующие значения \(a\). Используя значение \(b_1\), мы можем найти \(a_1\):

\[a_1 = \frac{55}{2 - b_1} \approx -3.03.\]

Используя значение \(b_2\), мы можем найти \(a_2\):

\[a_2 = \frac{55}{2 - b_2} \approx 27.27.\]

Итак, у нас есть две дроби: \(\frac{a_1}{b_1}\) и \(\frac{a_2}{b_2}\).

\[a_1 \approx -3.03, \quad b_1 \approx -52.67.\]

\[a_2 \approx 27.27, \quad b_2 \approx 0.67.\]

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном случае числа \(a\) и \(b\) - это отрицательные и десятичные числа. Такие ответы, вероятно, не подходят для задач, связанных с дробями, поэтому, возможно, в учебнике есть дополнительные условия, которые позволяют найти более подходящие значения \(a\) и \(b\).