Какую долю конденсатора необходимо заполнить той же диэлектрической жидкостью при вертикальном расположении пластин

Чтобы понять, какую долю конденсатора необходимо заполнить диэлектрической жидкостью, чтобы емкости в обоих случаях были одинаковыми, мы можем использовать формулу для расчета емкости плоского конденсатора:

$$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$$

Где:
- C обозначает емкость конденсатора,
- ${\epsilon }_0$ представляет собой электрическую постоянную (приблизительно равную $8.85\times {10}^{-12}\text{Ф/м}$),
- ${\epsilon }_r$ - относительная диэлектрическая проницаемость жидкости,
- A - площадь пластин,
- d - расстояние между пластинами.

Итак, для нашего задания мы можем представить, что изначально конденсатор полностью заполнен одним диэлектриком, и его емкость равна $C_1$. Теперь нам нужно определить, каким должно быть отношение расстояния с диэлектриком к общему расстоянию между пластинами, чтобы всего конденсатора оставалось только $C_1$.

Пусть $d_1$ - расстояние между пластинами с диэлектриком. Тогда расстояние между пластинами без диэлектрика будет равно $d-d_1$.

Теперь, используя формулу для емкости конденсатора и заменяя A на $S$, получим:

$$C_1=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d_1}$$

А для конденсатора без диэлектрика:

$$C_2=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d-d_1}$$

Мы знаем, что $C_1=C_2$, поэтому можем приравнять оба выражения:

$$\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d_1}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d-d_1}$$

Теперь давайте решим это уравнение относительно $\frac{d_1}{d}$:

$$\frac{{\epsilon }_{r}S}{d_1}=\frac{S}{d-d_1}$$

Перекрестное умножение даёт нам:

$${\epsilon }_{r}S(d-d_1)=S{d}_1$$

Раскроем скобки:

$${\epsilon }_{r}Sd-{\epsilon }_{r}S{d}_1=S{d}_1$$

Перенесем все слагаемые с $d_1$ на одну сторону уравнения:

$$({\epsilon }_{r}S+S)d_1={\epsilon }_{r}Sd$$

Теперь можем найти значение $\frac{d_1}{d}$:

$$\frac{d_1}{d}=\frac{{\epsilon }_{r}Sd}{({\epsilon }_{r}S+S)d}$$

Упрощаем:

$$\frac{d_1}{d}=\frac{{\epsilon }_r}{{\epsilon }_r+1}$$

Таким образом, для того чтобы емкости конденсатора с и без диэлектрика были одинаковыми, необходимо заполнить долю конденсатора, равную $\frac{{\epsilon }_r}{{\epsilon }_r+1}$ диэлектрической жидкостью.