Какую долю конденсатора необходимо заполнить той же диэлектрической жидкостью при вертикальном расположении пластин

Чтобы понять, какую долю конденсатора необходимо заполнить диэлектрической жидкостью, чтобы емкости в обоих случаях были одинаковыми, мы можем использовать формулу для расчета емкости плоского конденсатора:

\[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} \]

Где:
- C обозначает емкость конденсатора,
- \( \varepsilon_0 \) представляет собой электрическую постоянную (приблизительно равную \( 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \)),
- \( \varepsilon_r \) - относительная диэлектрическая проницаемость жидкости,
- A - площадь пластин,
- d - расстояние между пластинами.

Итак, для нашего задания мы можем представить, что изначально конденсатор полностью заполнен одним диэлектриком, и его емкость равна \( C_1 \). Теперь нам нужно определить, каким должно быть отношение расстояния с диэлектриком к общему расстоянию между пластинами, чтобы всего конденсатора оставалось только \( C_1 \).

Пусть \( d_1 \) - расстояние между пластинами с диэлектриком. Тогда расстояние между пластинами без диэлектрика будет равно \( d - d_1 \).

Теперь, используя формулу для емкости конденсатора и заменяя A на \( S \), получим:

\[ C_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d_1} \]

А для конденсатора без диэлектрика:

\[ C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d - d_1} \]

Мы знаем, что \( C_1 = C_2 \), поэтому можем приравнять оба выражения:

\[ \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 S}{d - d_1} \]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \( \frac{d_1}{d} \):

\[ \frac{\varepsilon_r S}{d_1} = \frac{S}{d - d_1} \]

Перекрестное умножение даёт нам:

\[ \varepsilon_r S(d - d_1) = Sd_1 \]

Раскроем скобки:

\[ \varepsilon_r Sd - \varepsilon_r Sd_1 = Sd_1 \]

Перенесем все слагаемые с \( d_1 \) на одну сторону уравнения:

\[ (\varepsilon_r S + S)d_1 = \varepsilon_r Sd \]

Теперь можем найти значение \( \frac{d_1}{d} \):

\[ \frac{d_1}{d} = \frac{\varepsilon_r Sd}{(\varepsilon_r S + S)d} \]

Упрощаем:

\[ \frac{d_1}{d} = \frac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r + 1} \]

Таким образом, для того чтобы емкости конденсатора с и без диэлектрика были одинаковыми, необходимо заполнить долю конденсатора, равную \( \frac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r + 1} \) диэлектрической жидкостью.