Какую длину имеет четвёртая сторона вписанного четырёхугольника, если его другая диагонал делит показанную на рисунке

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о диагоналях вписанного четырехугольника, которая гласит: "Диагонали вписанного четырехугольника делятся друг другом пополам и перпендикулярны".

По условию задачи, одна из диагоналей делит показанную на рисунке диагональ AC пополам. Обозначим точку деления этой диагонали как D. Таким образом, мы имеем две равные отрезки: AD и DC.

Рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что стороны этого треугольника равны 4, 3 и AD (четвертая сторона четырехугольника). Можем мы решить эту задачу, используя теорему косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника ACD:

\[AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC)\]

Так как диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то \(\angle ADC\) равен 90 градусов, а значит \(\cos(\angle ADC) = 0\).

Подставим это значение в уравнение:

\[AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot 0\]

\[AC^2 = AD^2 + DC^2\]

Так как диагональ AC делится пополам, AD равно DC. Подставим это в уравнение:

\[AC^2 = AD^2 + AD^2\]
\[AC^2 = 2 \cdot AD^2\]

Теперь заменим значение AD на известные длины сторон треугольника ACD:

\[AC^2 = 2 \cdot (4^2)\]
\[AC^2 = 2 \cdot 16\]
\[AC^2 = 32\]

Чтобы найти длину стороны AC, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[AC = \sqrt{32}\]
\[AC = 4 \sqrt{2}\]

Итак, четвертая сторона вписанного четырехугольника равна \(4\sqrt{2}\).