Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известны координаты фокуса f(0

Для составления уравнения параболы с вершиной в начале координат и известной координатой фокуса \(f(0, c)\), нам потребуется знание определения параболы и ее свойств.

Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса \(F\) и прямой \(l\), которая называется директрисой. В нашем случае, координаты фокуса \(F\) даны как \(f(0, c)\), что означает, что фокус находится на оси \(x\) в начале координат.

Уравнение параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) может быть записано через фокус и директрису:

\[PF = PD \]

где \(P\) - произвольная точка параболы, \(F\) - координаты фокуса, \(D\) - координаты точки на директрисе.

Так как фокус находится в начале координат, координаты фокуса \(F\) равны \(f(0, c)\), а точка на директрисе \(D\) будет иметь координаты \(D(0, -c)\), так как директриса всегда находится под параболой.

Теперь мы можем записать уравнение параболы, используя расстояние от фокуса до произвольной точки \(PF\) и расстояние от произвольной точки до директрисы \(PD\):

\[\sqrt{x^2 + (y-c)^2} = \sqrt{x^2 + (-c-y)^2}\]

Чтобы избавиться от корней, мы можем возвести оба выражения в квадрат:

\[x^2 + (y-c)^2 = x^2 + (-c-y)^2\]

После сокращения одинаковых слагаемых и раскрытия квадратов получим:

\[y^2 - 2cy + c^2 = c^2 + 2cy + y^2\]

Сократив одинаковые слагаемые еще раз и упростив полученное уравнение, мы получим окончательное уравнение параболы:

\[y = \frac{1}{4c}x^2\]

Таким образом, уравнение параболы с вершиной в начале координат и координатами фокуса \(f(0, c)\) выглядит следующим образом:

\[y = \frac{1}{4c}x^2\]