Какую длину должна иметь сторона вырезанного квадрата, чтобы из прямоугольного листа жести со сторонами a=800мм

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать знания из математического анализа и нахождения экстремумов функции. Давайте начнем с того, что найдем объем получившегося ящика в зависимости от длины стороны вырезанного квадрата.

Обозначим сторону квадрата как \(x\) (в миллиметрах). Тогда у нас будут получены следующие размеры и объем ящика:

Длина ящика: \(a - x\) мм
Ширина ящика: \(b - x\) мм
Высота ящика: \(x\) мм

Объем ящика можно выразить как произведение длины, ширины и высоты:

\[V = (a - x)(b - x)x\]

Теперь, чтобы найти значение \(x\), при котором объем будет наибольшим, нам потребуется найти максимум этой функции. Для этого нам понадобится взять производную функции \(V\) по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dV}{dx} = (a - x)(b - x) + x(a - x) + x(b - x) = 0\]

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим:

\[ab - 2ax - 2bx + 3x^2 = 0\]

Далее, упростим это уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[3x^2 - 2(a+b)x + ab = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, применим формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-2(a+b))^2 - 4(3)(ab)\]

Если \(D > 0\), то у уравнения есть два действительных корня. Если \(D = 0\), то у уравнения есть один действительный корень. Если \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней.

Если рассмотреть квадратное уравнение \(3x^2 - 2(a+b)x + ab = 0\), то его дискриминант будет равен:

\[D = (-2(a+b))^2 - 4(3)(ab)\]
\[D = 4(a+b)^2 - 12ab\]

Теперь, когда мы выразили дискриминант, мы можем использовать его значение для определения характера корней этого квадратного уравнения. Нам нужно найти такое значение \(x\), при котором дискриминант будет неотрицательным числом, то есть \(D \geq 0\).

После нахождения \(x\) мы можем проверить, что найденное значение является максимумом функции, а не минимумом. Для этого просто возьмем вторую производную функции \(V\) от \(x\) и убедимся, что она отрицательна при данном значении \(x\).

Итак, после нахождения значения \(x\), мы можем подставить это значение обратно в уравнение для объема ящика (\(V = (a - x)(b - x)x\)), чтобы найти конкретные размеры ящика.

После всех этих шагов, у нас будет подробный ответ с обоснованием и объяснением каждого шага решения задачи.