Какой заряд протечёт по вертикально расположенному проволочному кольцу диаметром 3см и сопротивлением 20

Чтобы найти заряд, протекающий по проволочному кольцу в магнитном поле, нам необходимо использовать закон электромагнитной индукции.

Согласно закону Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС) индукции \(\mathcal{E}\), создаваемая изменением магнитного потока сквозь площадку проволочного кольца, пропорциональна скорости изменения этого потока. По формуле Фарадея, электродвижущая сила определяется как:

\[
\mathcal{E} = - \frac{{d\Phi}}{{dt}}
\]

Где \(\Phi\) представляет собой магнитный поток, пронизывающий кольцо, а \(t\) - время.

Магнитный поток определяется через индукцию магнитного поля \(B\), площадь площадки, охватываемой кольцом \(A\), и косинус угла \(\theta\) между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке:

\[
\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)
\]

Теперь мы можем объединить две формулы, чтобы получить выражение для ЭДС индукции:

\[
\mathcal{E} = - \frac{{d(B \cdot A \cdot \cos(\theta))}}{{dt}}
\]

В данной задаче у нас вертикальное магнитное поле земли, поэтому \(\theta = 0\) и \(\cos(\theta) = 1\).

Теперь нам нужно использовать закон Ома, чтобы найти ток \(I\), протекающий через проволочное кольцо. Закон Ома гласит, что ток \(I\) в цепи равен отношению напряжения \(V\) к сопротивлению \(R\):

\[
I = \frac{V}{R}
\]

Заменим напряжение \(V\) на ЭДС индукции \(\mathcal{E}\) и сопротивление \(R\) на заданное сопротивление кольца \(20 \, \text{мОм}\).

Теперь у нас есть две формулы, но нам необходимо найти \(d\Phi/dt\) и \(A\), чтобы получить ответ.

Расчет площади проволочного кольца требует знания его диаметра \(d\). Определить, какое значение используется в задаче, важно для правильного ответа. Давайте проведем расчет для диаметра 3 см (или 0,03 м).

Площадь площадки \(A\) кольца определяется следующим образом:

\[
A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2
\]

Теперь мы можем рассчитать площадь площадки, используя известное значение диаметра:

\[
A = \pi \left( \frac{0,03 \, \text{м}}{2} \right)^2
\]

\[
A = \pi \left( \frac{0,03 \, \text{м}}{2} \right)^2
\]

\[
A = \pi \left(0,015 \, \text{м}\right)^2
\]

\[
A = \pi \cdot 0,000225 \, \text{м}^2
\]

\[
A \approx 0,00070686 \, \text{м}^2
\]

Теперь, когда у нас есть площадь площадки, мы можем перейти к вычислению \(d\Phi/dt\). Для этого нам необходимо знать значение изменения магнитного поля \(dB\). У нас дана вертикальная составляющая индукции поля \(50 \, \text{мкТл}\).

Теперь мы можем рассчитать \(d\Phi/dt\) как произведение \(B\), \(A\) и производной \(dB/dt\) (так как значение индукции меняется со временем):

\[
\frac{d\Phi}{dt} = B \frac{dA}{dt} + A \frac{dB}{dt}
\]

Так как площадь площадки \(A\) не изменяется со временем (\(\frac{dA}{dt} = 0\)), формула упрощается:

\[
\frac{d\Phi}{dt} = A \frac{dB}{dt}
\]

Теперь мы можем рассчитать значение \(d\Phi/dt\):

\[
\frac{d\Phi}{dt} = 0,00070686 \, \text{м}^2 \cdot \frac{50 \times 10^{-6} \, \text{Тл}}{1 \, \text{с}}
\]

\[
\frac{d\Phi}{dt} = 0,00070686 \, \text{м}^2 \cdot 50 \times 10^{-6} \, \text{Тл/с}
\]

\[
\frac{d\Phi}{dt} \approx 0,000035343 \, \text{Вб/с}
\]

Теперь, используя полученное значение \(d\Phi/dt\), мы можем рассчитать ЭДС индукции \(\mathcal{E}\):

\[
\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt}
\]

\[
\mathcal{E} = - 0,000035343 \, \text{Вб/с}
\]

Теперь мы можем использовать закон Ома, чтобы найти ток \(I\), протекающий через кольцо:

\[
I = \frac{|\mathcal{E}|}{R}
\]

\[
I = \frac{0,000035343 \, \text{Вб/с}}{20 \times 10^{-3} \, \text{Ом}}
\]

\[
I = \frac{0,000035343 \, \text{Вб/с}}{0,020 \, \text{Ом}}
\]

\[
I \approx 0,00176715 \, \text{А}
\]

Округляя до пятой десятичной, ток, протекающий по кольцу, составляет приблизительно \(0,00177 \, \text{А}\). Таким образом, заряд, протекающий по кольцу, можно найти, умножив значение тока на время, в течение которого он протекает:

\[
q = I \cdot t
\]

Но поскольку в задаче не указано время, в течение которого протекает ток, мы не можем точно определить величину заряда. Если нам дано время, мы можем умножить значение тока на это время, чтобы найти заряд. Например, если дано время \(t = 5 \, \text{с}\), заряд будет:

\[
q = 0,00177 \, \text{А} \cdot 5 \, \text{с}
\]

\[
q = 0,00885 \, \text{Кл}
\]