Какой заряд протечёт по вертикально расположенному проволочному кольцу диаметром 3см и сопротивлением 20

Чтобы найти заряд, протекающий по проволочному кольцу в магнитном поле, нам необходимо использовать закон электромагнитной индукции.

Согласно закону Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}$, создаваемая изменением магнитного потока сквозь площадку проволочного кольца, пропорциональна скорости изменения этого потока. По формуле Фарадея, электродвижущая сила определяется как:

$$\mathcal{E}=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$$

Где $\mathrm{\Phi }$ представляет собой магнитный поток, пронизывающий кольцо, а $t$ - время.

Магнитный поток определяется через индукцию магнитного поля $B$, площадь площадки, охватываемой кольцом $A$, и косинус угла $\theta$ между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке:

$$\mathrm{\Phi }=B\cdot A\cdot \cos (\theta )$$

Теперь мы можем объединить две формулы, чтобы получить выражение для ЭДС индукции:

$$\mathcal{E}=-\frac{d(B\cdot A\cdot \cos (\theta ))}{dt}$$

В данной задаче у нас вертикальное магнитное поле земли, поэтому $\theta =0$ и $\cos (\theta )=1$.

Теперь нам нужно использовать закон Ома, чтобы найти ток $I$, протекающий через проволочное кольцо. Закон Ома гласит, что ток $I$ в цепи равен отношению напряжения $V$ к сопротивлению $R$:

$$I=\frac{V}{R}$$

Заменим напряжение $V$ на ЭДС индукции $\mathcal{E}$ и сопротивление $R$ на заданное сопротивление кольца $20\text{мОм}$.

Теперь у нас есть две формулы, но нам необходимо найти $d\mathrm{\Phi }/dt$ и $A$, чтобы получить ответ.

Расчет площади проволочного кольца требует знания его диаметра $d$. Определить, какое значение используется в задаче, важно для правильного ответа. Давайте проведем расчет для диаметра 3 см (или 0,03 м).

Площадь площадки $A$ кольца определяется следующим образом:

$$A=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$

Теперь мы можем рассчитать площадь площадки, используя известное значение диаметра:

$$A=\pi {\left(\frac{0,03\text{м}}{2}\right)}^2$$

$$A=\pi {\left(\frac{0,03\text{м}}{2}\right)}^2$$

$$A=\pi {(0,015\text{м})}^2$$

$$A=\pi \cdot 0,000225{\text{м}}^2$$

$$A\approx 0,00070686{\text{м}}^2$$

Теперь, когда у нас есть площадь площадки, мы можем перейти к вычислению $d\mathrm{\Phi }/dt$. Для этого нам необходимо знать значение изменения магнитного поля $dB$. У нас дана вертикальная составляющая индукции поля $50\text{мкТл}$.

Теперь мы можем рассчитать $d\mathrm{\Phi }/dt$ как произведение $B$, $A$ и производной $dB/dt$ (так как значение индукции меняется со временем):

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=B\frac{dA}{dt}+A\frac{dB}{dt}$$

Так как площадь площадки $A$ не изменяется со временем ($\frac{dA}{dt}=0$), формула упрощается:

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=A\frac{dB}{dt}$$

Теперь мы можем рассчитать значение $d\mathrm{\Phi }/dt$:

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=0,00070686{\text{м}}^2\cdot \frac{50\times {10}^{-6}\text{Тл}}{1\text{с}}$$

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=0,00070686{\text{м}}^2\cdot 50\times {10}^{-6}\text{Тл/с}$$

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}\approx 0,000035343\text{Вб/с}$$

Теперь, используя полученное значение $d\mathrm{\Phi }/dt$, мы можем рассчитать ЭДС индукции $\mathcal{E}$:

$$\mathcal{E}=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$$

$$\mathcal{E}=-0,000035343\text{Вб/с}$$

Теперь мы можем использовать закон Ома, чтобы найти ток $I$, протекающий через кольцо:

$$I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}$$

$$I=\frac{0,000035343\text{Вб/с}}{20\times {10}^{-3}\text{Ом}}$$

$$I=\frac{0,000035343\text{Вб/с}}{0,020\text{Ом}}$$

$$I\approx 0,00176715\text{А}$$

Округляя до пятой десятичной, ток, протекающий по кольцу, составляет приблизительно $0,00177\text{А}$. Таким образом, заряд, протекающий по кольцу, можно найти, умножив значение тока на время, в течение которого он протекает:

$$q=I\cdot t$$

Но поскольку в задаче не указано время, в течение которого протекает ток, мы не можем точно определить величину заряда. Если нам дано время, мы можем умножить значение тока на это время, чтобы найти заряд. Например, если дано время $t=5\text{с}$, заряд будет:

$$q=0,00177\text{А}\cdot 5\text{с}$$

$$q=0,00885\text{Кл}$$