Какой является основной период функции f(x) = cos3xcos2x+sin2xsin3x?

Для начала, давайте разложим функцию \(f(x)\) на произведение с помощью формулы произведения синуса и косинуса:

\[f(x) = \cos^3(x)\cos^2(x) + \sin^2(x)\sin^3(x)\]

Теперь вспомним формулы двойного угла:

\[\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\]
\[\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\]

Подставим эти значения в выражение для \(f(x)\):

\[f(x) = \cos^3(x)\cdot \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) + \sin^2(x)\cdot \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)\]

Раскроем скобки:

\[f(x) = \frac{\cos^3(x) + \cos^3(x)\cos(2x)}{2} + \frac{\sin^2(x) - \sin^2(x)\cos(2x)}{2}\]

Преобразуем слагаемые:

\[f(x) = \frac{2\cos^3(x) + \cos(2x)\cos^3(x) + \sin^2(x) - \sin^2(x)\cos(2x)}{2}\]

Мы можем вынести общий множитель \(\cos^3(x)\):

\[f(x) = \frac{\cos^3(x)(2 + \cos(2x)) + \sin^2(x)(1 - \cos(2x))}{2}\]

Теперь воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:

\[\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\]
\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\]

Подставим эти значения:

\[f(x) = \frac{\cos^3(x)(2 + 2\cos^2(x) - 1) + \sin^2(x)(1 - (2\cos^2(x) - 1))}{2}\]

\[f(x) = \frac{\cos^3(x)(2\cos^2(x) + 1) + \sin^2(x)(1 - 2\cos^2(x) + 1)}{2}\]

\[f(x) = \frac{\cos^3(x)(2\cos^2(x) + 1) + \sin^2(x)(2 - 2\cos^2(x))}{2}\]

Вспомним формулу синуса в квадрате:

\[\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\]

Подставим:

\[f(x) = \frac{\cos^3(x)(2\cos^2(x) + 1) + (1 - \cos^2(x))(2 - 2\cos^2(x))}{2}\]

\[f(x) = \frac{2\cos^5(x) + \cos^3(x) + 2 - 2\cos^2(x) - 2\cos^4(x) + 2\cos^2(x) - 2\cos^4(x) + 2\cos^6(x)}{2}\]

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:

\[f(x) = \frac{2\cos^6(x) + (2\cos^5(x) - 4\cos^4(x)) + (\cos^3(x) - 2\cos^2(x)) + 2}{2}\]

Итак, основной период функции \(f(x) = cos^3(x)cos^2(x)+sin^2(x)sin^3(x)\) равен \(2\pi\), так как все слагаемые зависят только от \(x\) и имеют период \(2\pi\).