Какой вид имеет треугольник BCD и какова длина его высоты DH, если B(0, 6), C(4, 2), D(3

Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо вначале определить тип треугольника \(BCD\) на основе его сторон. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

Давайте вычислим длины всех сторон треугольника \(BCD\):

сторона \(BC\): \(\sqrt{(4-0)^2+(2-6)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}\)
сторона \(CD\): \(\sqrt{(3-4)^2+(0-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\)
сторона \(BD\): \(\sqrt{(3-0)^2+(0-6)^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45}\)

Теперь давайте проанализируем длины сторон:

Если все стороны равны, то треугольник \(BCD\) является равносторонним треугольником.
Если две стороны равны, а третья сторона отличается от них, то треугольник является равнобедренным треугольником.
Если все стороны различны, то треугольник \(BCD\) является разносторонним треугольником.

Мы уже вычислили длины сторон треугольника \(BCD\), поэтому можем сделать вывод:

сторона \(BC\) равна \(\sqrt{32}\)
сторона \(CD\) равна \(\sqrt{5}\)
сторона \(BD\) равна \(\sqrt{45}\)

Поскольку длины всех сторон различны, треугольник \(BCD\) является разносторонним треугольником.

Теперь давайте перейдем к второй части вопроса и вычислим длину высоты \(DH\) треугольника \(BCD\). В качестве информации мы знаем, что высота проходит из вершины \(D\) и перпендикулярна стороне \(BC\).

Для вычисления длины высоты \(DH\) мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой. Формула выглядит следующим образом: \(d = \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\), где \(A\), \(B\), \(C\) - коэффициенты общего уравнения прямой, а \(x\) и \(y\) - координаты точки.

В нашем случае, сторона \(BC\) является прямой, проходящей через точки \(B(0, 6)\) и \(C(4, 2)\). Чтобы найти коэффициенты \(A\), \(B\), \(C\), мы можем использовать уравнение прямой \((y-y_1) = m(x-x_1)\), где \(m\) - угловой коэффициент прямой, а \(x_1\), \(y_1\) - координаты одной из точек на прямой.

Угловой коэффициент \(m\) можно найти, используя разницу \(y\)-координат и разницу \(x\)-координат двух точек \(B\) и \(C\):

\[m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{2-6}{4-0} = -\frac{4}{4} = -1\]

Теперь, используя уравнение прямой, мы можем записать его в общей форме \(Ax+By+C=0\):

\[x-y+C=0\]

Подставив координаты точки \(D(3,-3)\) в это уравнение, мы сможем найти значение \(C\):

\[3-(-3)+C=0\]
\[C=0\]

Таким образом, у нас получается уравнение прямой \(x-y=0\), и мы можем вычислить длину высоты \(DH\) с помощью формулы для расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|1\cdot3+(-1)\cdot(-3)+0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{3+3}{\sqrt{1+1}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]

Таким образом, длина высоты \(DH\) треугольника \(BCD\) равна \(3\sqrt{2}\) единицы длины.