Какой угол при вершине в осевом сечении конуса будет иметь косинус, если площадь основания конуса будет равна

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Нам нужно найти угол при вершине в осевом сечении конуса, который будет иметь косинус такой, что площадь основания конуса будет равной поверхности вписанного в него шара.

Пусть \(r\) - радиус основания конуса. Тогда площадь основания конуса можно выразить как \(\pi r^2\).

Площадь поверхности вписанного в конус шара состоит из площади полусферы с радиусом \(r\) и площади внешнего поверхности конуса, которую мы обозначим как \(S\).

Площадь полусферы можно найти с использованием формулы: \(S_{\text{сфера}} = 2\pi r^2\).

Теперь возьмем конус. Площадь боковой поверхности конуса мы можем найти, используя формулу: \(S_{\text{конус}} = \pi r l\), где \(l\) - образующая конуса.

Также известно, что для конуса с вершиной угол в осевом сечении между образующей и осью равен \(\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})\).

Теперь приравняем площади основания конуса и поверхности вписанного в него шара и решим уравнение.

\(\pi r^2 + S_{\text{конус}} = S_{\text{сфера}}\)

\(\pi r^2 + \pi r l = 2\pi r^2\)

\(\pi r l = \pi r^2\)

\(l = r\)

Таким образом, мы получаем, что образующая конуса равна радиусу основания. Из этого следует, что угол при вершине в осевом сечении конуса равен \(\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})\), что примерно равно \(35.26^\circ\).

Надеюсь, это решение понятно для вас.