Какой угол при вершине правильной треугольной пирамиды составляет 90 градусов, если площадь её боковой поверхности

Для начала, давайте разберемся с основными понятиями. Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а вершина лежит прямо над центром этого треугольника. Объем пирамиды - это объем пространства, занимаемого пирамидой.

Теперь к нашей задаче. Мы знаем, что площадь боковой поверхности пирамиды равна 54 см². Чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо знать высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды, воспользуемся формулой для площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине периметра основания, умноженного на радиус описанной окружности, где радиус описанной окружности - это расстояние от середины любой стороны равностороннего треугольника до его вершины.

Поскольку треугольник равносторонний, периметр равен произведению длины одной стороны на количество сторон, т.е. площадь боковой поверхности равна \[\frac{p \cdot r}{2} = 54\] где \(p\) - периметр основания, \(r\) - радиус описанной окружности.

Так как у нас равносторонний треугольник, периметр будет равен тройному значению его стороны, \(p = 3a\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Также у нас есть радиус описанной окружности. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен трети половины стороны, т.е. \(r = \frac{a}{2}\).

Заменив \(p\) и \(r\) в уравнении для площади боковой поверхности, получим: \[\frac{3a \cdot \frac{a}{2}}{2} = 54\]. Упростим это уравнение и решим его для \(a\):

\[\frac{3a^2}{4} = 54\]
\[3a^2 = 216\]
\[a^2 = 72\]
\[a = \sqrt{72} \approx 8,49\]

Итак, сторона равностороннего треугольника равна примерно 8,49 см.

Теперь, нам нужно найти высоту пирамиды. Высота пирамиды будет равна расстоянию от вершины пирамиды до плоскости основания равностороннего треугольника.

В прямоугольной треугольной пирамиде такое прямое расстояние будет равно половине стороны основания, то есть \(h = \frac{8.49}{2} = 4.24\)

Теперь, когда мы знаем высоты пирамиды, можем перейти к вычислению ее объема. Объем правильной треугольной пирамиды можно найти, умножив площадь основания на треть его высоты. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом: \[V = \frac{1}{3}S \times h\], где \(V\) - объем, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

Подставив значения, получим: \[V = \frac{1}{3} \times \frac{(8.49)^2 \sqrt{3}}{4} \times 4.24\]
\[V \approx \frac{1}{3} \times 36.08 \times 4.24\]
\[V \approx 51.7 \, см^3\]

Таким образом, объем данной пирамиды составляет примерно 51.7 \(см^3\).