Какой угол образуют векторы a⃗ (3; 6) и b⃗ (-9

Для начала, давайте найдем длины векторов a⃗ и b⃗ , то есть |a⃗ | и |b⃗ |. Для этого воспользуемся формулой длины вектора:

\[ |a⃗ | = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2} \]

\[ |b⃗ | = \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2} \]

где a_x и a_y - координаты вектора a⃗ , а b_x и b_y - координаты вектора b⃗ .

Для вектора a⃗ , у нас a_x = 3 и a_y = 6, а для вектора b⃗ , у нас b_x = -9 и b_y = -12.

Теперь подставим значения в формулу:

\[ |a⃗ | = \sqrt{{3}^2 + {6}^2} \approx \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \]

\[ |b⃗ | = \sqrt{{-9}^2 + {12}^2} \approx \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]

Теперь, когда у нас есть длины векторов a⃗ и b⃗ , мы можем найти их скалярное произведение (dot product). Формула для скалярного произведения двух векторов:

\[ a⃗ \cdot b⃗ = |a⃗ | \cdot |b⃗ | \cdot \cos{\theta} \]

где theta (θ) - искомый угол между векторами a⃗ и b⃗ .

Подставим наши значения:

\[ a⃗ \cdot b⃗ = (3 \sqrt{5}) \cdot 15 \cdot \cos{\theta} \]

\[ a⃗ \cdot b⃗ = 45 \sqrt{5} \cdot \cos{\theta} \]

Теперь найдем значение скалярного произведения векторов a⃗ и b⃗ . Для этого нам нужно воспользоваться данными координатами:

\[ a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot (-9) + 6 \cdot (-12) = -27 - 72 = -99 \]

Подставим это значение обратно в формулу:

\[ -99 = 45 \sqrt{5} \cdot \cos{\theta} \]

Теперь найдем значение cos(θ) делением обоих частей уравнения на \(45 \sqrt{5}\):

\[ \cos{\theta} = \frac{{-99}}{{45 \sqrt{5}}} \]

\[ \cos{\theta} \approx -0.3939 \]

Теперь остается найти сам угол θ. Для этого мы можем использовать обратную функцию косинуса (cos-1):

\[ \theta = \cos^{-1}{(-0.3939)} \]

\[ \theta \approx 113.82^\circ \]

Таким образом, угол, образуемый векторами a⃗ (3; 6) и b⃗ (-9; -12), примерно равен 113.82 градуса.