Какой угол образуют радиус-вектор и вектор скорости частицы в данное время, если координаты частицы задаются следующим

Для начала, давайте найдем вектор скорости частицы. Вектор скорости \(\vec{v}\) определяется как производная вектора позиции \(\vec{r}(t)\) по времени \(t\):

\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\]

У нас имеются уравнения для координат частицы:

\(x = ( 0.4t + 1 )\) [м]

\(y = 0.3t\) [м]

Теперь продифференцируем оба уравнения по \(t\), чтобы найти производные:

\(\frac{dx}{dt} = 0.4\) [м/с]

\(\frac{dy}{dt} = 0.3\) [м/с]

Таким образом, вектор скорости \(\vec{v}\) будет иметь следующие компоненты:

\(\vec{v} = \begin{bmatrix} 0.4 \\ 0.3 \end{bmatrix}\) [м/с]

Теперь рассмотрим радиус-вектор \(\vec{r}(t)\), который задает положение частицы в момент времени \(t\):

\(\vec{r}(t) = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4t + 1 \\ 0.3t \end{bmatrix}\) [м]

Нас интересует угол \(\theta\), образованный между радиус-вектором и вектором скорости в данное время. Для этого мы можем использовать формулу для скалярного произведения двух векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta)\)

Где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - это векторы, \(\|\vec{a}\|\) - длина вектора \(\vec{a}\), \(\|\vec{b}\|\) - длина вектора \(\vec{b}\), и \(\theta\) - это искомый угол.

Применяя эту формулу к нашим векторам \(\vec{r}(t)\) и \(\vec{v}\), получим:

\(\vec{r}(t) \cdot \vec{v} = \|\vec{r}(t)\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)

Раскроем скалярное произведение:

\((0.4t + 1)(0.4) + (0.3t)(0.3) = \sqrt{(0.4t + 1)^2 + (0.3t)^2} \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} \cos(\theta)\)

Произведем необходимые вычисления:

\(0.16t + 0.4 + 0.09t = \sqrt{(0.16t + 1)^2 + 0.09t^2} \sqrt{0.25} \cos(\theta)\)

\(0.25t + 0.4 = \sqrt{0.16t^2 + 1.6t + 1 + 0.09t^2} \sqrt{0.25} \cos(\theta)\)

\(0.25t + 0.4 = \sqrt{0.25t^2 + 1.6t + 1} \sqrt{0.25} \cos(\theta)\)

Упростим выражение до:

\(0.25t + 0.4 = \sqrt{0.25t^2 + 1.6t + 1} \cdot 0.5 \cos(\theta)\)

Теперь, зная координаты частицы и получившееся выражение, мы можем найти угол \(\theta\). Однако, для этого необходимо знать конкретное значение времени \(t\). Если вы предоставите значение \(t\), я смогу привести конкретный ответ на ваш вопрос.