Какой угол образуют диагонали параллелограмма, если их длины составляют 8√3 см и 6 см, а длина его меньшей стороны

Чтобы найти угол, образуемый диагоналями параллелограмма, нам необходимо использовать закон косинусов. Давайте разобъем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длины оставшихся двух сторон параллелограмма.
Известно, что длина одной диагонали равна 8√3 см, а другой - 6 см. Параллелограмм имеет противоположные стороны равными, так что мы можем найти длину двух других сторон.
Пусть a и b - длины этих сторон соответственно.

Используя Теорему Пифагора, для диагонали 8√3 см получим:
\[a^2 = (8\sqrt{3})^2 - (\sqrt{21})^2\]
\[a^2 = 192 - 21\]
\[a^2 = 171\]
\[a = \sqrt{171}\]

Аналогично для диагонали 6 см получим:
\[b^2 = 6^2 - (\sqrt{21})^2\]
\[b^2 = 36 - 21\]
\[b^2 = 15\]
\[b = \sqrt{15}\]

Шаг 2: Применим закон косинусов, чтобы найти угол.

Пусть C - угол между диагоналями параллелограмма.
Согласно закону косинусов:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Подставим известные значения:
\[8^2 = (\sqrt{171})^2 + (\sqrt{15})^2 - 2(\sqrt{171})(\sqrt{15}) \cos(C)\]
\[64 = 171 + 15 - 30 \sqrt{171} \cos(C)\]
\[30 \sqrt{171} \cos(C) = 122\]
\[\cos(C) = \frac{122}{30 \sqrt{171}}\]

Шаг 3: Найдем значение угла C.

Используя тригонометрическое определение косинуса:
\[\cos(C) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В данной задаче, гипотенузой является длина наибольшей диагонали, то есть 8√3 см.
\[\cos(C) = \frac{122}{30 \sqrt{171}} = \frac{122}{8 \sqrt{3}}\]
\[\cos(C) = \frac{122}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[\cos(C) = \frac{61}{4 \sqrt{3}}\]

Для того чтобы найти угол C, нам нужно найти arccos от этого значения:
\[C = \arccos\left(\frac{61}{4 \sqrt{3}}\right)\]

Прокомментируем результаты:

Угол C будет равен arccos(61 / (4 * sqrt(3))) радиан.
Чтобы получить ответ в градусах, возьмем этот результат и умножим на 180 / π.
\[C \approx 20.1^\circ\]

Таким образом, угол, образуемый диагоналями параллелограмма, примерно равен 20.1 градусов.