Какой угол образует вектор OA с положительной полуосью OX? Ответ: Угол между вектором OA и положительной полуосью

Угол между вектором OA и положительной полуосью OX образует угол \(\theta\). Чтобы определить этот угол, мы можем использовать свойства скалярного произведения векторов.

Для начала, давайте представим вектор OA в виде координатных компонентов \(OA = (x_1, y_1)\). Поскольку О является началом координат, координаты начала вектора OA равны (0, 0). Теперь мы можем связать координаты вектора OA с углом \(\theta\), используя тригонометрические соотношения.

Длина вектора OA выражается следующим образом: \(|OA| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\). Записанная в полярных координатах, координаты вектора OA могут быть выражены следующим образом: \(OA = |OA|(\cos(\theta), \sin(\theta))\).

Теперь мы можем сравнить координаты вектора OA с координатами положительной полуоси OX, которая имеет координаты (1, 0). Используя свойства скалярного произведения, получаем:

\(OA \cdot OX = |OA| \cdot 1 \cdot \cos(\theta) + |OA| \cdot 0 \cdot \sin(\theta)\)

Так как \(OX = (1, 0)\), то получаем:

\(OA \cdot OX = |OA| \cdot \cos(\theta)\)

Теперь мы берем скалярное произведение векторов OA и OX и приравниваем его к произведению модуля вектора OA и косинусу угла \(\theta\). Из этого уравнения мы можем выразить угол \(\theta\):

\(|OA| \cdot \cos(\theta) = OA \cdot OX\)

\(|OA| \cdot \cos(\theta) = x_1 \cdot 1 + y_1 \cdot 0\)

\(|OA| \cdot \cos(\theta) = x_1\)

Теперь мы можем выразить угол \(\theta\), поделив обе стороны уравнения на длину вектора OA:

\(\cos(\theta) = \frac{x_1}{|OA|}\)

\(\theta = \arccos\left(\frac{x_1}{|OA|}\right)\)

Таким образом, угол между вектором OA и положительной полуосью OX равен \(\theta = \arccos\left(\frac{x_1}{|OA|}\right)\). Мы можем вычислить или приближенно оценить этот угол, зная координаты вектора OA.