Какой угол к направлению течения должен выбрать пловец, чтобы переплыть реку шириной h в самое короткое время? Какое

Для решения данной задачи нам понадобится использовать понятие векторов и применить законы сложения векторов.

Пусть A - начальная точка, от которой пловец начинает свое плавание, B - конечная точка на противоположном берегу реки, C - точка, куда пловец должен доплыть, чтобы преодолеть течение реки.

Согласно условию задачи, расстояние между берегами реки равно h = 50 м, скорость течения реки u = 1 м/с, а скорость пловца относительно воды v = 2 км/ч = (2 * 1000) / 3600 = 5/9 м/с.

Так как пловец должен выбрать такой угол к направлению течения, чтобы переплыть реку шириной h в самое короткое время, тогда пловец должен двигаться по прямой линии между точками A и B.

Пусть \( \vec{AB}\) будет вектором, указывающим направление от точки A до точки B. Тогда вектор \( \vec{AC}\) будет состоять из двух компонентов: компонента скорости пловца относительно воды \( \vec{v}\), которая будет направлена вдоль вектора \( \vec{AB}\), и компонента скорости течения реки \( \vec{u}\), которая будет перпендикулярна вектору \( \vec{AB}\).

При движении по прямой линии, время плавания можно выразить как отношение расстояния к сумме скоростей пловца и течения реки:

\[ t = \frac{S}{v + u} \]

Так как \( \vec{v} \) и \( \vec{u} \) являются перпендикулярными векторами, то мы можем использовать теорему Пифагора для расчета расстояния S:

\[ S^2 = h^2 + (vt)^2 \]

Мы хотим найти угол \( \theta \), который пловец должен выбрать относительно направления течения, чтобы минимизировать время плавания. Для этого нам нужно минимизировать знаменатель \( v + u \) в формуле времени плавания. В данном случае, знаменатель будет минимальным, когда \( u \) и \( v \) будут коллинеарны, то есть когда угол между ними будет равен 0 градусов.

Таким образом, пловец должен выбрать угол к направлению течения реки равным 0 градусов.

Теперь, найдем расстояние S относительно берега, округлив его до целого числа:

\[ S^2 = h^2 + (vt)^2 \]
\[ S^2 = (50)^2 + \left(\frac{5}{9}t\right)^2 \]
\[ S^2 = 2500 + \left(\frac{5}{9}t\right)^2 \]

Подставим выражение для времени плавания в квадрат:

\[ S^2 = 2500 + \left(\frac{5}{9}\cdot\frac{h}{v+u}\right)^2 \]
\[ S^2 = 2500 + \left(\frac{5}{9}\cdot\frac{50}{\frac{5}{9}+1}\right)^2 \]
\[ S^2 = 2500 + \left(\frac{250}{14}\right)^2 \]
\[ S^2 = 625 + \left(\frac{125}{2}\right)^2 \]
\[ S^2 = 625 + 15625 \]
\[ S^2 = 16250 \]
\[ S \approx 127.6 \, \text{м} \]

Таким образом, расстояние S, которое пловец проплывет относительно берега, округленное до целого числа, составляет около 128 метров.

Вывод: Пловец должен выбрать угол, равный 0 градусов, к направлению течения реки, чтобы переплыть реку шириной 50 метров в самое короткое время. При этом он проплывет около 128 метров относительно берега.