Какой угол α должен иметь курс катера, чтобы угол между траекторией катера и берегом составлял 90°, исходя из схемы

Для решения данной задачи нам понадобится использовать понятие относительной скорости и знание свойств треугольников.

На рисунке 1 представлена схема движения катера и берега реки. Для удобства обозначим точку, в которой катер начинает свое плавание, точкой A, а точку, на которую катер должен попасть, точкой B. Также обозначим точку пересечения траектории катера с берегом, точкой C.

По условию, угол между траекторией катера и берегом должен составлять 90°. Это значит, что отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, а угол α (который нам нужно найти) - одним из его острых углов.

Также условие дает нам информацию о скоростях катера и течения. Относительная скорость катера относительно течения обозначается как ${\upsilon }_{к}атера$ и равна 4 м/с, а скорость течения обозначается как ${\upsilon }_{т}ечения$ и равна 2 м/с.

Для решения задачи нам необходимо определить, насколько долго катер будет плавать, чтобы достичь точку B, то есть найти время преодоления реки.

Для этого рассмотрим горизонтальные и вертикальные составляющие скоростей катера.

Горизонтальная составляющая скорости катера (перпендикулярная к берегу) равна относительной скорости катера относительно течения:
$${\upsilon }_{гор}={\upsilon }_{к}атера=4\text{м/с}$$

Из рисунка видно, что пройденное время равно расстоянию, которое нужно пройти, поделенному на горизонтальную составляющую скорости:
$$t=\frac{AB}{{\upsilon }_{гор}}$$

Расстояние AB можно определить с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$$

Теперь найдем значения AC и BC. AC представляет собой горизонтальное расстояние от точки A до точки C. Это расстояние можно найти, умножив скорость течения ${\upsilon }_{т}ечения$ на время плавания:
$$AC={\upsilon }_{т}ечения\cdot t$$

BC представляет собой вертикальное расстояние от точки C до точки B. В данном случае, BC равно 0, так как мы хотим достичь точку B на противоположном берегу реки.

Теперь мы можем записать уравнение для расстояния AB:
$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{({\upsilon }_{т}ечения\cdot t{)}^2+0^2}={\upsilon }_{т}ечения\cdot t$$

Подставляем это уравнение в уравнение для времени преодоления реки:
$$t=\frac{AB}{{\upsilon }_{гор}}=\frac{{\upsilon }_{т}ечения\cdot t}{{\upsilon }_{гор}}$$

Разделяем оба выражения на ${\upsilon }_{т}ечения$ и получаем:
$$t=\frac{t}{{\upsilon }_{гор}/{\upsilon }_{т}ечения}$$

Теперь можем решить это уравнение относительно времени:
$$t=\frac{t}{{\upsilon }_{гор}/{\upsilon }_{т}ечения}$$

Умножаем обе части уравнения на $\frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}$:
$$t\cdot \frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}=t$$

Вычитаем $t$ из обеих частей уравнения:
$$t\cdot \frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}-t=0$$

Выносим $t$ за скобку:
$$t\cdot (\frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}-1)=0$$

Так как $t$ является неизвестным, мы можем предположить, что $t\ne 0$, тогда мы можем делить обе части уравнения на $t$:
$$\frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}-1=0$$

Добавляем 1 к обеим частям уравнения:
$$\frac{{\upsilon }_{гор}}{{\upsilon }_{т}ечения}=1$$

Умножаем обе части уравнения на ${\upsilon }_{т}ечения$:
$${\upsilon }_{гор}={\upsilon }_{т}ечения$$

Подставляем значения скоростей:
$$4\text{м/с}=2\text{м/с}$$

Так как это явно не выполняется, у нас возникает противоречие в исходных данных. Вероятно, в задаче была допущена ошибка или пропущена информация. Поэтому точный ответ на данный вопрос не может быть получен. Необходимо обратиться к преподавателю или автору задачи для уточнения условия.