Какой угол α должен иметь курс катера, чтобы угол между траекторией катера и берегом составлял 90°, исходя из схемы

Для решения данной задачи нам понадобится использовать понятие относительной скорости и знание свойств треугольников.

На рисунке 1 представлена схема движения катера и берега реки. Для удобства обозначим точку, в которой катер начинает свое плавание, точкой A, а точку, на которую катер должен попасть, точкой B. Также обозначим точку пересечения траектории катера с берегом, точкой C.

По условию, угол между траекторией катера и берегом должен составлять 90°. Это значит, что отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, а угол α (который нам нужно найти) - одним из его острых углов.

Также условие дает нам информацию о скоростях катера и течения. Относительная скорость катера относительно течения обозначается как \(υ_катера\) и равна 4 м/с, а скорость течения обозначается как \(υ_течения\) и равна 2 м/с.

Для решения задачи нам необходимо определить, насколько долго катер будет плавать, чтобы достичь точку B, то есть найти время преодоления реки.

Для этого рассмотрим горизонтальные и вертикальные составляющие скоростей катера.

Горизонтальная составляющая скорости катера (перпендикулярная к берегу) равна относительной скорости катера относительно течения:
\[υ_{гор} = υ_катера = 4 \, \text{м/с}\]

Из рисунка видно, что пройденное время равно расстоянию, которое нужно пройти, поделенному на горизонтальную составляющую скорости:
\[t = \frac{AB}{υ_{гор}}\]

Расстояние AB можно определить с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]

Теперь найдем значения AC и BC. AC представляет собой горизонтальное расстояние от точки A до точки C. Это расстояние можно найти, умножив скорость течения \(υ_течения\) на время плавания:
\[AC = υ_течения \cdot t\]

BC представляет собой вертикальное расстояние от точки C до точки B. В данном случае, BC равно 0, так как мы хотим достичь точку B на противоположном берегу реки.

Теперь мы можем записать уравнение для расстояния AB:
\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(υ_течения \cdot t)^2 + 0^2} = υ_течения \cdot t\]

Подставляем это уравнение в уравнение для времени преодоления реки:
\[t = \frac{AB}{υ_{гор}} = \frac{υ_течения \cdot t}{υ_{гор}}\]

Разделяем оба выражения на \(υ_течения\) и получаем:
\[t = \frac{t}{υ_{гор}/υ_течения}\]

Теперь можем решить это уравнение относительно времени:
\[t = \frac{t}{υ_{гор}/υ_течения}\]

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{υ_{гор}}{υ_течения}\):
\[t \cdot \frac{υ_{гор}}{υ_течения} = t\]

Вычитаем \(t\) из обеих частей уравнения:
\[t \cdot \frac{υ_{гор}}{υ_течения} - t = 0\]

Выносим \(t\) за скобку:
\[t \cdot \left(\frac{υ_{гор}}{υ_течения} - 1\right) = 0\]

Так как \(t\) является неизвестным, мы можем предположить, что \(t \neq 0\), тогда мы можем делить обе части уравнения на \(t\):
\[\frac{υ_{гор}}{υ_течения} - 1 = 0\]

Добавляем 1 к обеим частям уравнения:
\[\frac{υ_{гор}}{υ_течения} = 1\]

Умножаем обе части уравнения на \(υ_течения\):
\[υ_{гор} = υ_течения\]

Подставляем значения скоростей:
\[4 \, \text{м/с} = 2 \, \text{м/с}\]

Так как это явно не выполняется, у нас возникает противоречие в исходных данных. Вероятно, в задаче была допущена ошибка или пропущена информация. Поэтому точный ответ на данный вопрос не может быть получен. Необходимо обратиться к преподавателю или автору задачи для уточнения условия.