Какой радиус у тонкого диска из диэлектрика, если он заряжен равномерно зарядом 5,0 Кл и вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 10 рад/с?
Добрый_Дракон
Чтобы найти радиус \(R\) тонкого диска из диэлектрика, который заряжен равномерно зарядом \(Q\) и вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega\), мы можем использовать формулу для момента инерции. Момент инерции, \(I\), для тонкого диска можно выразить как:
\[I = \frac{1}{2} m R^2\]
где \(m\) - масса диска. Чтобы найти \(m\), мы можем использовать формулу для массы:
\[m = \frac{Q}{E}\]
где \(E\) - напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля, \(E\), находится на расстоянии \(r\) от центра тонкого диска и может быть найдена с использованием формулы:
\[E = \frac{kQ}{r^2}\]
где \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2\)).
Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи.
Для начала выразим \(E\) через известные значения:
\[E = \frac{kQ}{r^2}\]
Подставим данное значение угловой скорости \(\omega = 10 \, \text{рад/с}\) в формулу для момента инерции:
\[I = \frac{1}{2} m R^2\]
Подставим формулу для массы \(m\) в получившееся выражение для момента инерции и запишем его в виде уравнения, чтобы выразить \(R\):
\[\frac{1}{2} \left(\frac{Q}{E}\right) R^2 = I\]
Распишем \(E\) через известные значения:
\[\frac{1}{2} \left(\frac{Q}{\frac{kQ}{r^2}}\right) R^2 = I\]
Упростим выражение:
\[\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\frac{k}{r^2}}\right) R^2 = I\]
\[\frac{1}{2} \left(\frac{r^2}{k}\right) R^2 = I\]
Разделим обе части уравнения на \(\frac{1}{2} \left(\frac{r^2}{k}\right)\):
\[R^2 = \frac{2I}{\frac{r^2}{k}}\]
\[R^2 = 2I \cdot \frac{k}{r^2}\]
\[R^2 = 2 \cdot \frac{kI}{r^2}\]
В итоге, радиус \(R\) тонкого диска из диэлектрика можно найти, подставив известные значения \(Q\), \(\omega\) и известные константы \(k\) и \(I\) в данное уравнение и извлекая корень:
\[R = \sqrt{\frac{2 \cdot k \cdot I}{r^2}}\]
\[I = \frac{1}{2} m R^2\]
где \(m\) - масса диска. Чтобы найти \(m\), мы можем использовать формулу для массы:
\[m = \frac{Q}{E}\]
где \(E\) - напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля, \(E\), находится на расстоянии \(r\) от центра тонкого диска и может быть найдена с использованием формулы:
\[E = \frac{kQ}{r^2}\]
где \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2\)).
Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи.
Для начала выразим \(E\) через известные значения:
\[E = \frac{kQ}{r^2}\]
Подставим данное значение угловой скорости \(\omega = 10 \, \text{рад/с}\) в формулу для момента инерции:
\[I = \frac{1}{2} m R^2\]
Подставим формулу для массы \(m\) в получившееся выражение для момента инерции и запишем его в виде уравнения, чтобы выразить \(R\):
\[\frac{1}{2} \left(\frac{Q}{E}\right) R^2 = I\]
Распишем \(E\) через известные значения:
\[\frac{1}{2} \left(\frac{Q}{\frac{kQ}{r^2}}\right) R^2 = I\]
Упростим выражение:
\[\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\frac{k}{r^2}}\right) R^2 = I\]
\[\frac{1}{2} \left(\frac{r^2}{k}\right) R^2 = I\]
Разделим обе части уравнения на \(\frac{1}{2} \left(\frac{r^2}{k}\right)\):
\[R^2 = \frac{2I}{\frac{r^2}{k}}\]
\[R^2 = 2I \cdot \frac{k}{r^2}\]
\[R^2 = 2 \cdot \frac{kI}{r^2}\]
В итоге, радиус \(R\) тонкого диска из диэлектрика можно найти, подставив известные значения \(Q\), \(\omega\) и известные константы \(k\) и \(I\) в данное уравнение и извлекая корень:
\[R = \sqrt{\frac{2 \cdot k \cdot I}{r^2}}\]
Знаешь ответ?