Какой радиус у маленькой сферы, вписанной в правильный тетраэдр со стороной 48 и вмещающей еще одну большую сферу?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для радиуса сферы, вписанной в правильный тетраэдр. Давайте разберемся:

Правильный тетраэдр - это пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками. В данном случае, сторона тетраэдра равна 48.

Для начала, нам понадобится найти высоту правильного тетраэдра. Можно заметить, что высота тетраэдра входит в равносторонний треугольник, образованный между центром основания тетраэдра и вершиной. Давайте обозначим высоту как \(h\).

Также, нам нужно найти радиус большой сферы, вмещающей тетраэдр. Если мы нарисуем линию из центра большой сферы до вершины тетраэдра, то получится высота этой сферы. Обозначим радиус большой сферы как \(R\).

Теперь у нас есть две формулы, которые связаны с этой задачей. Найдем их:

Формула для высоты правильного тетраэдра:
\[h = \frac{{\sqrt{6}}}{{3}} \times a\]
где \(a\) - длина стороны тетраэдра.

Формула для радиуса сферы, вписанной в правильный тетраэдр:
\[r_1 = \frac{{h}}{{\sqrt{2}}}\]
где \(r_1\) - радиус маленькой сферы.

Также, нам нужно учесть, что существует отношение между радиусами вписанной и описанной сфер в правильной пирамиде. Оно равно \(\frac{r_1}{{R}} = \frac{1}{{\sqrt{3}}}\). С помощью этого отношения мы можем найти радиус большой сферы:

\[R = \frac{{r_1}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}} = \sqrt{3} \times r_1\]

Теперь мы можем решить задачу, подставив значения в формулы:

\[h = \frac{{\sqrt{6}}}{{3}} \times 48 \approx 27.71\]
\[r_1 = \frac{{27.71}}{{\sqrt{2}}} \approx 19.57\]
\[R = \sqrt{3} \times 19.57 \approx 33.91\]

Таким образом, радиус маленькой сферы, вписанной в правильный тетраэдр со стороной 48 и вмещающий еще одну большую сферу, равен примерно 19.57, а радиус большой сферы - примерно 33.91.