Какой радиус шара, касающегося ребра AD в точке M, можно найти в пирамиде ABCD, где ребра AC, BC, CD перпендикулярны

Чтобы найти радиус шара, касающегося ребра AD в точке M, сначала рассмотрим пирамиду ABCD и вспомним некоторые свойства.

У нас есть пирамида ABCD, где ребра AC, BC и CD перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину AC = BC = CD = 4. Также дано, что точка P является серединой ребра AB, а отношение AM к MD равно 3:1.

Обратимся к треугольнику ACP. Мы знаем, что ребро AC имеет длину 4, а точка P является серединой ребра AB, поэтому AP также равно 4. Теперь давайте рассмотрим треугольник APM. Отношение AM к MD равно 3:1, поэтому AM равно 3 единицам (3/4 от 4) и MD равно 1 единице (1/4 от 4).

Представим себе шар, касающийся ребра AD в точке M. Рассмотрим радиус этого шара и обозначим его как R.

Теперь рассмотрим треугольник AMD. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором AM равно 3, MD равно 1, и гипотенуза AD равна 4. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы AM:

\[AM^2 + MD^2 = AD^2\]
\[3^2 + 1^2 = AD^2\]
\[9 + 1 = AD^2\]
\[10 = AD^2\]

Теперь у нас есть длина гипотенузы AM и длина ребра AD. Чтобы найти радиус шара, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника:

\[R = \frac{{AD}}{2}\]

Подставим известные значения:

\[R = \frac{{\sqrt{10}}}{2}\]

Итак, радиус шара, касающегося ребра AD в точке M, равен \(\frac{{\sqrt{10}}}{2}\).