Какой радиус основания конуса соответствует его объему, если синус угла между образующей и плоскостью основания равен

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу объема конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V\) обозначает объем, \(r\) - радиус основания конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, а \(h\) - высота конуса.

Однако, для корректного решения нужно учесть, что синус угла \(\alpha\) между образующей и плоскостью основания равен 0.6.

Зная это, мы можем записать следующее соотношение:
\[h = r \cdot \sin(\alpha)\]

Теперь, подставим это значение в формулу объема конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 (r \cdot \sin(\alpha))\]

Так как нам дан объем конуса, мы можем записать уравнение:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^3 \sin(\alpha)\]

Чтобы найти радиус основания конуса, нужно выразить \(r\) из этого уравнения. Разделим обе части уравнения на \(\frac{1}{3} \pi \sin(\alpha)\):
\[r^3 = \frac{3V}{\pi \sin(\alpha)}\]

Затем, извлечем кубический корень из обеих сторон уравнения:
\[r = \sqrt[3]{\frac{3V}{\pi \sin(\alpha)}}\]

Теперь у нас есть формула, позволяющая найти радиус основания конуса по заданному объему и углу \(\alpha\).

Давайте проверим варианты ответа, чтобы определить, какой из них является правильным.

1. Подставим \(V = 16\pi\) и \(\alpha = 0.6\) в нашу формулу:
\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 16\pi}{\pi \cdot 0.6}} = \sqrt[3]{\frac{48}{0.6}} \approx 4.62\]

2. Подставим \(V = 2\pi\) и \(\alpha = 0.6\) в нашу формулу:
\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2\pi}{\pi \cdot 0.6}} = \sqrt[3]{\frac{6}{0.6}} = \sqrt[3]{10} \approx 2.15\]

3. Подставим \(V = \frac{\pi}{4}\) и \(\alpha = 0.6\) в нашу формулу:
\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot \frac{\pi}{4}}{\pi \cdot 0.6}} = \sqrt[3]{\frac{\frac{3}{4}}{0.6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} \approx 0.91\]

4. Подставим \(V = \pi\) и \(\alpha = 0.6\) в нашу формулу:
\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot \pi}{\pi \cdot 0.6}} = \sqrt[3]{\frac{3}{0.6}} = \sqrt[3]{5} \approx 1.71\]

Таким образом, сравнивая полученные значения с вариантами ответов, мы видим, что правильный ответ - 2. R = 2