Какой путь пройдет точка за первые 4 секунды движения, если ее движение описывается уравнением r = 3t^2i + 4t^2j + 8tk?

Для решения данной задачи нам необходимо определить путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения. Для этого мы будем использовать уравнение для пути, которое задано как функция времени.

Исходное уравнение движения точки r = 3t^2i + 4t^2j + 8tk, где r - радиус-вектор точки на заданное время t, i и j - ортовые базисные векторы в направлениях осей x и y соответственно, а k - ортовый базисный вектор в направлении оси z.

Чтобы найти путь, мы будем интегрировать уравнение по времени от начального момента до заданного момента времени \(t = 4\).

Итак, начнем с интегрирования каждого компонента уравнения движения от 0 до 4:

\[
x(t) = \int_{0}^{4} 3t^2 dt = [t^3]_0^4 = 4^3 - 0^3 = 64
\]

\[
y(t) = \int_{0}^{4} 4t^2 dt = [t^3]_0^4 = 4^3 - 0^3 = 64
\]

\[
z(t) = \int_{0}^{4} 8t dt = [4t^2]_0^4 = 4(4^2) - 4(0^2) = 64
\]

Значит, координаты точки за первые 4 секунды движения будут \(x = 64\), \(y = 64\) и \(z = 64\).

Теперь, чтобы найти путь, пройденный точкой, нам нужно вычислить длину радиус-вектора точки:

\[
r(t) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{64^2 + 64^2 + 64^2} = \sqrt{3 \cdot 64^2} = 64\sqrt{3}.
\]

Таким образом, путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения, равен \(64\sqrt{3}\) единицам длины.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ позволяет полностью понять решение данной задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!