Какой путь пройдет тело за первые 3 секунды, если его ускорение зависит от времени и равно a(t)=2t+2, и оно начинает

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить путь, пройденный телом за первые три секунды. Ускорение тела задано функцией времени \(a(t) = 2t + 2\), а начальное положение тела - положение покоя.

Для начала, давайте найдем скорость тела в момент времени \(t\). Для этого проинтегрируем заданную функцию ускорения по времени:

\[
v(t) = \int (2t + 2)\,dt
\]

Выполняя интегрирование, получим:

\[
v(t) = t^2 + 2t + C
\]

где \(C\) - постоянная интегрирования. Теперь найдем значение постоянной \(C\) исходя из начального условия, что тело начинает двигаться из положения покоя. В момент времени \(t = 0\), скорость тела должна быть равна нулю:

\[
v(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + C = 0
\]

Отсюда получаем, что \(C = 0\). Таким образом, выражение для скорости тела будет иметь вид:

\[
v(t) = t^2 + 2t
\]

Теперь, чтобы найти путь \(s(t)\), пройденный телом за время \(t\), мы проинтегрируем выражение для скорости:

\[
s(t) = \int (t^2 + 2t)\,dt
\]

Выполняя интегрирование, получим:

\[
s(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + C"
\]

где \(C"\) - ещё одна постоянная интегрирования. Для определения \(C"\) потребуется начальное условие. Так как тело начинает движение из положения покоя, то в момент времени \(t = 0\) его путь должен быть равен нулю:

\[
s(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 + 0^2 + C" = 0
\]

Отсюда следует, что \(C" = 0\). Таким образом, окончательное выражение для пути после времени \(t\) будет:

\[
s(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2
\]

Теперь давайте найдем путь, пройденный телом за первые три секунды. Подставим \(t = 3\) в выражение для пути:

\[
s(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 + 3^2
\]

\[
s(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 + 9
\]

\[
s(3) = 9 + 9
\]

\[
s(3) = 18
\]

Таким образом, за первые три секунды тело пройдет путь равный 18 единицам длины.