Какой путь прошла точка за четвертую секунду, если её скорость меняется по закону v=(9t^2-8t) м/с?

Хорошо, чтобы определить путь, пройденный точкой за определенное время, мы можем воспользоваться формулой перемещения.

Первым шагом обратимся к формуле перемещения:

\[S = S_0 + V_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]

Где:
S - перемещение
S_0 - начальное положение
V_0 - начальная скорость
a - ускорение
t - время

В данной задаче у нас дано уравнение, определяющее изменение скорости точки v = (9t^2-8t) м/с.

Для решения задачи требуется определить перемещение точки за четвертую секунду. То есть, мы должны найти значение S, когда t = 0.25 сек.

Обозначим начальное положение точки, S_0, как 0, так как не задано иное значение.

Теперь мы должны найти начальную скорость V_0. Однако у нас нет явного значения начальной скорости, поэтому будем считать, что V_0 также равно 0. Это означает, что в начальный момент времени точка находится в покое.

Теперь рассмотрим основное уравнение:

\[S = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]

Здесь у нас есть ускорение, которое можно выразить через данное уравнение для скорости v = (9t^2-8t):

\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (9t^2-8t)\]

Производная по t для 9t^2 равна 18t, а для -8t равна -8. Итак, у нас есть:

\[a = 18t - 8\]

Теперь мы можем подставить это значение ускорения в наше основное уравнение:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (18t - 8) \cdot t^2\]

Подставим t = 0.25 и вычислим значение S:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (18 \cdot 0.25 - 8) \cdot 0.25^2\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot (4.5 - 8) \cdot 0.0625\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot (-3.5) \cdot 0.0625\]

\[S = -0.109375\]

Итак, точка прошла -0.109375 метров (отрицательное значение указывает на то, что точка двигалась в обратном направлении) за четвертую секунду.