Какой путь прошел ястреб за первые 3 секунды движения и в течение 3-й секунды, если его скорость меняется по закону

Для решения данной задачи, нам необходимо найти путь, пройденный ястребом за первые 3 секунды движения и в течение 3-й секунды.

Для начала, нам понадобится функция скорости ястреба. Данная функция задана как \(v(t) = 5t^4 - 8t\), где \(t\) - время в секундах, а \(v(t)\) - скорость в м/с.

Для определения пути, пройденного ястребом, нам нужно проинтегрировать функцию скорости. При интегрировании, получим функцию пути \(s(t)\). Для нахождения пути за первые 3 секунды, проинтегрируем функцию скорости от 0 до 3:

\[
s(t) = \int_{0}^{t} v(t) dt
\]

Подставим функцию скорости \(v(t) = 5t^4 - 8t\) и проинтегрируем:

\[
s(t) = \int_{0}^{t} (5t^4 - 8t) dt
\]

Выполним интегрирование:

\[
s(t) = \left[ \frac{5}{5} \cdot \frac{t^5}{5} - \frac{8}{2} \cdot \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t}
\]

Упростим выражение:

\[
s(t) = \frac{t^5}{5} - 2t^2
\]

Теперь, чтобы найти путь, пройденный ястребом за первые 3 секунды движения, подставим \(t = 3\) в функцию \(s(t)\):

\[
s(3) = \frac{(3)^5}{5} - 2(3)^2
\]

Вычислим значение:

\[
s(3) = \frac{243}{5} - 2(9)
\]

Далее, найдем путь, пройденный ястребом в течение 3-й секунды. Для этого вычислим разность пути за 3 секунды и за 2 секунды:

\[
s(3) - s(2) = \frac{243}{5} - 2(9) - \left( \frac{(2)^5}{5} - 2(2)^2 \right)
\]

Вычислим значение:

\[
s(3) - s(2) = \frac{243}{5} - 18 - \left( \frac{32}{5} - 8 \right)
\]

\[
s(3) - s(2) = \frac{243}{5} - 18 - \frac{32}{5} + 8
\]

\[
s(3) - s(2) = \frac{243}{5} - \frac{32}{5} - 18 + 8
\]

Суммируем числители:

\[
s(3) - s(2) = \frac{243 - 32}{5} - 18 + 8
\]

\[
s(3) - s(2) = \frac{211}{5} - 18 + 8
\]

\[
s(3) - s(2) = \frac{211}{5} - \frac{90}{5} + \frac{40}{5}
\]

Суммируем числители:

\[
s(3) - s(2) = \frac{211 - 90 + 40}{5}
\]

\[
s(3) - s(2) = \frac{161}{5}
\]

Таким образом, путь, пройденный ястребом за первые 3 секунды движения, равен \(\frac{243}{5} - 18 = \frac{161}{5}\) метров. Путь, пройденный ястребом в течение 3-й секунды, равен \(\frac{161}{5}\) метров.