Какой прямоугольник был вырезан из прямоугольного треугольника с катетами 5 и 10? Стороны нового прямоугольника имеют

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход. Для начала, давайте взглянем на рисунок, чтобы визуализировать данные, которые нам даны.

\[ \text{insert figure here} \]

Мы видим прямоугольный треугольник с катетами длиной 5 и 10. Мы также знаем, что стороны нового прямоугольника имеют соотношение 1:3. Давайте обозначим сторону прямоугольника, соответствующую отношению 1:3, как ‘x’, а другую сторону как ‘3x’.

Теперь, чтобы определить размеры нового прямоугольника, нам нужно выразить эти размеры через катеты треугольника.

Используя теорему Пифагора, мы можем получить длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{5^2 + 10^2} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{25 + 100} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{125} \]

Сокращенно, \(\text{гипотенуза} = 5\sqrt{5}\).

Далее, мы можем записать отношение сторон нового прямоугольника:

\[ \frac{x}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{3} \]

Чтобы решить это уравнение относительно ‘x’, мы можем умножить обе стороны на \(5\sqrt{5}\):

\[ x = \frac{5\sqrt{5}}{3} \]

Таким образом, одна сторона нового прямоугольника равна \(\frac{5\sqrt{5}}{3}\), а другая сторона равна \(3 \times \frac{5\sqrt{5}}{3} = 5\sqrt{5}\).

Таким образом, размеры прямоугольника, вырезанного из прямоугольного треугольника, равны \(\frac{5\sqrt{5}}{3}\) и \(5\sqrt{5}\).