Какой период времени понадобится двум лыжникам, чтобы встретиться, если один из них движется со скоростью 5 м/с вверх

Данная задача предполагает использование уравнений движения для двух лыжников и нахождение времени и других параметров встречи. Давайте решим ее пошагово.

Шаг 1: Определение уравнений движения для каждого лыжника.

В данной задаче используем уравнения равноускоренного движения:

\[ v = u + at \] - уравнение для определения скорости \( v \) в зависимости от начальной скорости \( u \), ускорения \( a \) и времени \( t \).

\[ s = ut + \frac{1}{2}at^2 \] - уравнение для определения пройденного пути \( s \) в зависимости от начальной скорости \( u \), времени \( t \) и ускорения \( a \).

Шаг 2: Решение задачи для первого лыжника.

У первого лыжника изначально скорость \( u_1 = 0 \) м/с (так как он стоит на месте) и ускорение \( a_1 = 0.1 \) м/с² (движется вверх по склону с ускорением). Нас интересует время \( t \), скорость \( v_1 \) и пройденный путь \( s_1 \) первого лыжника.

Используем уравнения движения:

\[ v_1 = u_1 + a_1t \]
\[ s_1 = u_1t + \frac{1}{2}a_1t^2 \]

Так как \( u_1 = 0 \), первое уравнение упрощается до \( v_1 = a_1t \).

Шаг 3: Решение задачи для второго лыжника.

У второго лыжника изначально скорость \( u_2 = 0.1 \) м/с (движется вниз по склону со скоростью 0.1 м/с) и ускорение \( a_2 = 0.2 \) м/с² (ускорение вниз). Нас интересует время \( t \), скорость \( v_2 \) и пройденный путь \( s_2 \) второго лыжника.

Используем уравнения движения:

\[ v_2 = u_2 + a_2t \]
\[ s_2 = u_2t + \frac{1}{2}a_2t^2 \]

Так как \( u_2 = 0.1 \), первое уравнение упрощается до \( v_2 = 0.1 + 0.2t \).

Шаг 4: Находим время встречи.

Так как лыжники движутся друг навстречу другу, путь, пройденный обоими лыжниками, равен сумме их путей:

\[ s_1 + s_2 = 140 \] - уравнение для нахождения времени \( t \).

Подставляем значения пройденных путей:

\[ u_1t + \frac{1}{2}a_1t^2 + u_2t + \frac{1}{2}a_2t^2 = 140 \]

\[ \frac{1}{2}a_1t^2 + \frac{1}{2}a_2t^2 + (u_1 + u_2)t = 140 \] - объединяем слагаемые.

\[ \frac{1}{2}(a_1 + a_2)t^2 + (u_1 + u_2)t - 140 = 0 \] - приводим уравнение к квадратному виду.

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.

Приведенное уравнение является квадратным уравнением вида \( at^2 + bt + c = 0 \). Для его решения можно использовать квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае: \( a = \frac{1}{2}(a_1 + a_2) \), \( b = (u_1 + u_2) \), \( c = -140 \).

\[ t = \frac{-(u_1 + u_2) \pm \sqrt{(u_1 + u_2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}(a_1 + a_2) \cdot (-140)}}{2 \cdot \frac{1}{2}(a_1 + a_2)} \]

\[ t = \frac{-(0 + 0.1) \pm \sqrt{(0 + 0.1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}(0.1 + 0.2) \cdot (-140)}}{2 \cdot \frac{1}{2}(0.1 + 0.2)} \]

\[ t = \frac{-0.1 \pm \sqrt{0.01 - 4 \cdot 0.15 \cdot (-140)}}{0.3} \]

\[ t = \frac{-0.1 \pm \sqrt{0.01 + 84}}{0.3} \]

\[ t = \frac{-0.1 \pm \sqrt{84.01}}{0.3} \]

Так как время не может быть отрицательным, возьмем только положительное значение под знаком плюс:

\[ t = \frac{-0.1 + \sqrt{84.01}}{0.3} \]

Находим \( t \):

\[ t \approx 2.9417 \] с.

Шаг 6: Находим скорость и пройденный путь каждого лыжника в момент встречи.

Для первого лыжника:

\[ v_1 = a_1t \]
\[ v_1 = 0.1 \cdot 2.9417 \]
\[ v_1 \approx 0.2942 \] м/с.

\[ s_1 = u_1t + \frac{1}{2}a_1t^2 \]
\[ s_1 = 0 \cdot 2.9417 + \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (2.9417)^2 \]
\[ s_1 \approx 0.0860 \] м.

Для второго лыжника:

\[ v_2 = u_2 + a_2t \]
\[ v_2 = 0.1 + 0.2 \cdot 2.9417 \]
\[ v_2 \approx 0.5883 \] м/с.

\[ s_2 = u_2t + \frac{1}{2}a_2t^2 \]
\[ s_2 = 0.1 \cdot 2.9417 + \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot (2.9417)^2 \]
\[ s_2 \approx 1.2941 \] м.

Итак, для лыжников понадобится примерно 2.9417 секунды, чтобы встретиться. В момент встречи первый лыжник будет двигаться со скоростью около 0.2942 м/сек и пройдет около 0.0860 метра, а второй лыжник будет двигаться со скоростью около 0.5883 м/сек и пройдет около 1.2941 метра.