Какой периметр равнобедренной трапеции, у которой диагонали пересекаются в соотношении 2 : 5 и меньшее основание равно

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать свойства равнобедренных трапеций и пропорции.

Первым шагом найдем длину большего основания. Мы знаем, что меньшее основание равно высоте и составляет 4 см. Так как треугольник ABC (A — вершина с большим основанием, B и C — вершины с меньшим основанием) равнобедренный, то медиана и высота, проведенные из вершины A, разделят его на два равных треугольника ADB и ADC.

По условию, отношение диагоналей составляет 2:5. Из этого следует, что отношение высот треугольников ADB и ADC также составит 2:5. Пусть высота треугольника ADB равна h см. Тогда высота треугольника ADC будет равна \(\frac{5}{2}h\) см.

Так как меньшее основание равно высоте и составляет 4 см, то у нас есть пропорция: \(\frac{AD}{DB} = \frac{\frac{5}{2}h}{h} = \frac{5}{2}\). Решим эту пропорцию:

\(\frac{5}{2}h = 4\)

Умножим оба члена на \(\frac{2}{5}\):

\(h = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5} = 1.6\) см.

Теперь мы знаем высоту треугольника ADB, которая равна 1.6 см. Найдем длину большего основания. Так как треугольник ADB равнобедренный, отрезок AD (большее основание) будет равным двум основаниям AB и CD:

\(AD = AB + CD\).

Так как AB и CD равны, мы можем записать:

\(AD = 2AB\).

Подставим значение меньшего основания AB, которое равно 4 см:

\(AD = 2 \cdot 4 = 8\) см.

Теперь у нас есть длина большего основания, которая равна 8 см, и длина меньшего основания, равна 4 см. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить все стороны.

Поэтому периметр равнобедренной трапеции будет:

\((AB + CD + AD) + BC = (4 + 4 + 8) + BC = 16 + BC\) см.

Мы не знаем значение BC, но знаем, что диагонали пересекаются в соотношении 2:5. Из этого следует, что BC разделит диагональ AD на отрезки, пропорциональные 2:5. Поэтому BC будет равна \(\frac{2}{2+5} \cdot 8 = \frac{2}{7} \cdot 8 = \frac{16}{7}\) см.

Теперь мы можем найти периметр:

\(\text{периметр} = 16 + BC = 16 + \frac{16}{7} = \frac{112}{7} + \frac{16}{7} = \frac{128}{7} \approx 18.29\) см.

Округлив ответ до десятых, получаем периметр равнобедренной трапеции, который равен 18.3 см.