Какой периметр равнобедренной трапеции, у которой диагонали пересекаются в соотношении 2 : 5 и меньшее основание равно

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать свойства равнобедренных трапеций и пропорции.

Первым шагом найдем длину большего основания. Мы знаем, что меньшее основание равно высоте и составляет 4 см. Так как треугольник ABC (A — вершина с большим основанием, B и C — вершины с меньшим основанием) равнобедренный, то медиана и высота, проведенные из вершины A, разделят его на два равных треугольника ADB и ADC.

По условию, отношение диагоналей составляет 2:5. Из этого следует, что отношение высот треугольников ADB и ADC также составит 2:5. Пусть высота треугольника ADB равна h см. Тогда высота треугольника ADC будет равна $\frac{5}{2}h$ см.

Так как меньшее основание равно высоте и составляет 4 см, то у нас есть пропорция: $\frac{AD}{DB}=\frac{\frac{5}{2}h}{h}=\frac{5}{2}$. Решим эту пропорцию:

$\frac{5}{2}h=4$

Умножим оба члена на $\frac{2}{5}$:

$h=\frac{4\cdot 2}{5}=\frac{8}{5}=1.6$ см.

Теперь мы знаем высоту треугольника ADB, которая равна 1.6 см. Найдем длину большего основания. Так как треугольник ADB равнобедренный, отрезок AD (большее основание) будет равным двум основаниям AB и CD:

$AD=AB+CD$.

Так как AB и CD равны, мы можем записать:

$AD=2AB$.

Подставим значение меньшего основания AB, которое равно 4 см:

$AD=2\cdot 4=8$ см.

Теперь у нас есть длина большего основания, которая равна 8 см, и длина меньшего основания, равна 4 см. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить все стороны.

Поэтому периметр равнобедренной трапеции будет:

$(AB+CD+AD)+BC=(4+4+8)+BC=16+BC$ см.

Мы не знаем значение BC, но знаем, что диагонали пересекаются в соотношении 2:5. Из этого следует, что BC разделит диагональ AD на отрезки, пропорциональные 2:5. Поэтому BC будет равна $\frac{2}{2+5}\cdot 8=\frac{2}{7}\cdot 8=\frac{16}{7}$ см.

Теперь мы можем найти периметр:

$\text{периметр}=16+BC=16+\frac{16}{7}=\frac{112}{7}+\frac{16}{7}=\frac{128}{7}\approx 18.29$ см.

Округлив ответ до десятых, получаем периметр равнобедренной трапеции, который равен 18.3 см.