Необходимо доказать, что прямая, проходящая через вершину B ромба ABCD и перпендикулярная к плоскости ромба, также

Для доказательства перпендикулярности прямой, проходящей через вершину B ромба ABCD и перпендикулярной к плоскости ромба, нам понадобятся некоторые свойства и определения.

Пусть ромб ABCD имеет вершины A, B, C и D. Для удобства обозначим:
- \(\overrightarrow{AB}\) - вектор, направленный от вершины A к вершине B;
- \(\overrightarrow{BC}\) - вектор, направленный от вершины B к вершине C;
- \(\overrightarrow{BD}\) - вектор, направленный от вершины B к вершине D.

Также обозначим вектор, параллельный плоскости ромба и перпендикулярный прямой, проходящей через вершину B, как \(\overrightarrow{n}\).

Для доказательства перпендикулярности прямой к плоскости, нам нужно показать, что скалярное произведение вектора \( \overrightarrow{n} \) на любой вектор, лежащий в плоскости ромба, равно нулю.

Итак, давайте докажем это.

1. Первым шагом нам нужно показать, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) лежат в плоскости ромба. Для этого заметим, что в ромбе противоположные стороны параллельны. Таким образом, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) будут параллельны сторонам ромба, следовательно, они лежат в его плоскости.

2. Вторым шагом нам нужно показать, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) не коллинеарны (\( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) не лежат на одной прямой). Если бы они были коллинеарны, то ромб оказался бы вырожденным (то есть превратился бы в параллелограмм), что противоречит определению ромба.

3. Третьим шагом выполним доказательство. Обозначим как \( \overrightarrow{BP} \) произвольный вектор, лежащий в плоскости ромба. Тогда по определению скалярного произведения получим:

\[
\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BP} = |\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{BP}| \cdot \cos \theta
\]

где \(|\overrightarrow{n}|\) - длина вектора \( \overrightarrow{n} \), \(|\overrightarrow{BP}|\) - длина вектора \( \overrightarrow{BP} \), \(\theta\) - угол между векторами \( \overrightarrow{n} \) и \( \overrightarrow{BP} \).

Мы хотим показать, что \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BP} = 0\).

Заметим, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) являются сторонами ромба, поэтому вектор \( \overrightarrow{BP} \) может быть представлен, как линейная комбинация векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[
\overrightarrow{BP} = \alpha \cdot \overrightarrow{AB} + \beta \cdot \overrightarrow{BC}
\]

где \(\alpha\) и \(\beta\) - произвольные числа.

Тогда скалярное произведение можно записать как:

\[
\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{n} \cdot \left( \alpha \cdot \overrightarrow{AB} + \beta \cdot \overrightarrow{BC} \right) = \alpha \cdot \left( \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} \right) + \beta \cdot \left( \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BC} \right)
\]

Заметим, что \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\), так как векторы \(\overrightarrow{n}\) и \(\overrightarrow{AB}\) перпендикулярны (по условию задачи). Аналогично, \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\).

Подставляя эти значения, получаем:

\[
\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BP} = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0
\]

Таким образом, мы показали, что скалярное произведение вектора \(\overrightarrow{n}\) на любой вектор, лежащий в плоскости ромба, равно нулю.

Следовательно, прямая, проходящая через вершину B ромба ABCD и перпендикулярная к плоскости ромба, также перпендикулярна к плоскости.