Какой периметр имеет параллелограмм, в котором база составляет пятую часть периметра равнобедренного треугольника

Чтобы решить эту задачу, нам нужно проанализировать информацию, данную в условии, и использовать известные свойства параллелограмма и равнобедренного треугольника.

Для начала, давайте обозначим периметр равнобедренного треугольника как \(p\). По условию, база параллелограмма составляет пятую часть периметра этого треугольника. Таким образом, длина базы параллелограмма составляет \(\frac{1}{5}p\).

Затем, проведены прямые из произвольной точки основания параллелограмма, которые параллельны боковым сторонам равнобедренного треугольника. Заметим, что эти прямые разделяют параллелограмм на два треугольника и прямоугольник. Поскольку эти прямые параллельны боковым сторонам равнобедренного треугольника, то верхний треугольник и прямоугольник будут подобными треугольникам, образованным боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Обозначим длину основания параллелограмма как \(b\), а длину высоты параллелограмма как \(h\).

Теперь, у нас есть два подобных треугольника: треугольник с боковой стороной равно \(b\) и высотой равно \(h\) и равнобедренный треугольник с базой равной \(\frac{1}{5}p\) и высотой равной \(\frac{2}{5} \times h\). Мы можем использовать соотношение между сторонами и высотами подобных треугольников:

\[\frac{b}{\frac{1}{5}p} = \frac{h}{\frac{2}{5}h}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[\frac{b}{\frac{1}{5}p} = \frac{1}{2}\]

Умножая обе стороны на \(\frac{1}{5}p\), получаем:

\[b = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}p\]
\[b = \frac{1}{10}p\]

Теперь мы можем выразить периметр параллелограмма через длину его сторон и известные значения. Поскольку параллелограмм имеет две параллельные стороны, база равна \(b\), и еще две стороны будут также равны \(b\).

Периметр параллелограмма будет:

\[2b + 2b = 4b\]

Подставляя значение \(b = \frac{1}{10}p\), получаем:

\[4 \times \frac{1}{10}p = \frac{2}{5}p\]

Таким образом, периметр параллелограмма равен \(\frac{2}{5}p\).

Давайте резюмируем решение:

- Задача состоит в нахождении периметра параллелограмма по заданным условиям.
- Использовали свойства параллелограмма и равнобедренного треугольника.
- Определили длину базы параллелограмма, она равна \(\frac{1}{10}\) от периметра равнобедренного треугольника.
- Вывели уравнение, используя подобие треугольников.
- Разрешили уравнение и нашли длину базы параллелограмма \(b = \frac{1}{10}p\).
- Выразили периметр параллелограмма через длину его сторон \(p = 4b\).
- Подставили значение и нашли периметр параллелограмма: \(\frac{2}{5}p\).

Таким образом, периметр параллелограмма равен \(\frac{2}{5}p\).