Какой объем выборки необходим, чтобы с уверенностью 0,994 можно было утверждать, что разница в долях первосортных

Данная задача является практическим примером для определения необходимого объема выборки при известной доле в генеральной совокупности. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для расчета необходимого объема выборки при заданной уверенности и допустимой ошибке.

Формула для расчета объема выборки при известной доле в генеральной совокупности выглядит следующим образом:

\[n = \frac{{z^2 \cdot p \cdot (1-p)}}{{E^2}}\]

где:
- \(n\) - объем выборки,
- \(z\) - значение Z-критерия для заданной уверенности (доверительного уровня),
- \(p\) - оцененная доля первосортных деталей в генеральной совокупности,
- \(E\) - допустимая ошибка.

Для данной задачи нам известно следующее:
- Уверенность: \(0,994\) (доверительный уровень: \(99.4\%\)),
- Разница в долях первосортных деталей: \(0,05\),
- Объем партии: \(8000\) деталей.

Первым шагом необходимо определить значение Z-критерия. Для этого мы можем использовать таблицы значений стандартного нормального распределения (Z-таблицы) или функцию обратного распределения в статистическом программном обеспечении. Значение Z-критерия определяет, как далеко от среднего значения находится заданный уровень доверия.

Для уровня доверия \(0,994\) (или \(99,4\%)) значение Z-критерия составляет 2,575 (округленно).

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу:

\[n = \frac{{2,575^2 \cdot 0,05 \cdot (1-0,05)}}{{(0,05)^2}}\]

Выполняя вычисления:

\[n = \frac{{6,630625 \cdot 0,05 \cdot 0,95}}{{0,0025}}\]
\[n \approx 265\]

Таким образом, для того чтобы с уверенностью \(0,994\) утверждать, что разница в долях первосортных деталей между выборкой и всей партией не превышает \(0,05\) (по абсолютному значению), необходимо отобрать выборку объемом не менее \(265\) деталей.