Какой объем усеченного конуса, полученного после пересечения плоскостью, параллельной основанию, прямого кругового

Чтобы найти объем усеченного конуса, нам нужно сначала найти радиусы его оснований.

Рассмотрим данное задание более подробно. У нас есть прямой круговой конус с радиусом основания равным 12 см и высотой 8 см. Плоскость пересекает конус на расстоянии 2 см от его вершины.

Поскольку плоскость пересекает конус параллельно основанию, она также пересекает его верхний основной круг на некотором расстоянии от его центра. Это расстояние можно найти, используя подобие треугольников.

Обозначим радиус верхнего основного круга усеченного конуса как \( r_1 \) и его радиус нижнего основного круга как \( r_2 \). Также обозначим расстояние от вершины до плоскости как \( h_1 \) и высоту усеченного конуса как \( h_2 \).

Используя подобие треугольников, можем написать следующее отношение:

\[
\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_1}{h_1 + h_2}
\]

Подставим известные значения:

\[
\frac{r_1}{12} = \frac{2}{2 + 8}
\]

Решим это уравнение и найдем значение \( r_1 \):

\[
r_1 = \frac{12 \cdot 2}{2 + 8} = 2.4 \, \text{см}
\]

Теперь мы можем найти высоту усеченного конуса \( h_2 \). Для этого рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса, плоскостью и отрезком, соединяющим верхнюю точку плоскости и точку на верхнем основании конуса.

Этот треугольник является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[
h_2 = \sqrt{{h_1}^2 + {(12 - r_1)}^2} = \sqrt{{8}^2 + {(12 - 2.4)}^2} = \sqrt{64 + {(9.6)}^2} \approx 10.32 \, \text{см}
\]

Наконец, мы можем найти объем усеченного конуса, используя формулу:

\[
V = \frac{1}{3} \pi (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) h_2
\]

Подставим известные значения и найдем объем:

\[
V = \frac{1}{3} \pi (2.4^2 + 12^2 + 2.4 \cdot 12) \cdot 10.32
\]

Для точности результат округляется до двух знаков после запятой:

\[
V \approx 849.32 \, \text{см}^3
\]

Таким образом, объем усеченного конуса, полученного после пересечения плоскостью, параллельной основанию, прямого кругового конуса, составляет примерно 849.32 кубических сантиметров.